Simulieren mit Zufallszahlen
Statt ein Experiment real oft durchzuführen, lässt man es vom Rechner mit Zufallszahlen nachspielen.
- Eine Stufe:Zufallszahl \(z\) zwischen 0 und 1 ziehen; Treffer, wenn \(z\lt p\).
- Eine Kette:\(n\) Stufen simulieren und die Treffer zählen — das ist ein Wert von \(X\).
- Rechner:GTR:
RanBin#(n,p), CAS:randBin(n,p)liefern direkt eine simulierte Trefferzahl. - Auswerten:Viele Ketten simulieren, die Trefferzahlen auszählen und als Häufigkeitsverteilung darstellen.
Starte die Simulation oder simuliere einzelne Ketten. Beobachte, wie sich die Säulen der relativen Häufigkeiten den Umrissen der Binomialverteilung nähern.
Halte fest: Nach wenigen Ketten weichen die Häufigkeiten stark ab, nach Tausenden kaum noch. Eine Simulation liefert Näherungswerte, die Binomialverteilung die exakten Wahrscheinlichkeiten.
Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Die Häufigkeitsverteilung beschreibt, was tatsächlich (oder in der Simulation) passiert ist; die Binomialverteilung ist das Modell dafür.
- Häufigkeitsverteilung:relative Häufigkeit \(h(X=k)\) jeder Trefferzahl in den simulierten Ketten.
- Stabilisierung:Mit wachsender Anzahl der Ketten nähert sich \(h(X=k)\) der Wahrscheinlichkeit \(B(n;p;k)\) an.
- Mittelwert:Der Mittelwert der simulierten Trefferzahlen nähert sich \(\mu=n\cdot p\).
- Nutzen:Simulation hilft, wenn keine Formel bekannt ist oder das Modell überprüft werden soll.
Viele Wiederholungen: \(h(X=k)\approx B(n;p;k)\) und \(\bar x\approx\mu=n\cdot p\)
Allgemeine Hinweise
Kleine Simulation, große Abweichung
Mit 20 Ketten kann eine Säule doppelt so hoch sein wie erwartet. Erst viele Wiederholungen erlauben Aussagen.
Zufallszahl richtig deuten
Bei \(p=0{,}3\) ist „Treffer“ jede Zufallszahl kleiner als 0,3 — also 30 % aller Zahlen zwischen 0 und 1.
Simulation dokumentieren
Angeben, was eine Zufallszahl bedeutet, wie viele Ketten simuliert wurden und welche Größe gezählt wird.