Kausal oder nur statistisch?: Übungen – Mathe Klasse 13

A1

Befund oder Ursache?

AFB I

Gib alle richtigen Aussagen über stochastische und kausale Abhängigkeit an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Der Kernfehler ist der Schluss von „tritt häufiger gemeinsam auf“ auf „bewirkt“. Die Produktregel ist symmetrisch und kennt keine Richtung; eine Drittvariable erzeugt gerade eine stochastische Abhängigkeit, sie beseitigt sie nicht.

Frage: Was kann eine Rechnung mit Anteilen zeigen — und was nicht?Sie zeigt Zusammenhänge, keine Ursachen.

Hilfe: Nur zwei Aussagen sind falsch.

A2

Stimmt's? — Feuerwehreinsätze

AFB I

Bei Bränden mit vielen Einsatzkräften entsteht häufiger ein großer Schaden als bei Bränden mit wenigen. Entscheide jeweils, ob die Aussage stimmt.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Am häufigsten wird die Richtung „vom Befund zur Ursache“ falsch gedacht. Bei den Feuerwehreinsätzen ist die Brandgröße die Drittvariable: Große Brände rufen viele Kräfte und verursachen große Schäden.

Frage: Gibt es etwas, das beide Merkmale zugleich beeinflusst?Denke an die Ursache des Einsatzes.

Hilfe: Ein großer Brand braucht viele Kräfte — und richtet viel Schaden an.

A3

Lückentext: vom Befund zur Ursache

AFB I

Beschreibe den Unterschied zwischen stochastischer und kausaler Abhängigkeit — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die Produktregel prüft nur in Daten. Tritt \(B\) unter \(A\) häufiger auf als unter \(\overline A\), sind \(A\) und \(B\) stochastisch . Ob \(A\) die von \(B\) ist, lässt sich damit nicht entscheiden. Oft steckt eine dahinter, die beide Merkmale beeinflusst. Belegen kann man eine Wirkung nur mit einem , bei dem die Gruppen zufällig eingeteilt werden, oder mit einem fachlichen Mechanismus.

„Umfrage“ bleibt übrig: Eine Umfrage liefert nur Beobachtungsdaten — auch eine sehr große Umfrage kann Drittvariablen nicht ausschließen. Genau das wird oft übersehen.

Idee: Erst der Befund (rechnen), dann die Deutung (Ursache?), dann der Beleg.So ist der Text aufgebaut.

Hilfe: Zufällige Einteilung verteilt mögliche Drittvariablen gleichmäßig auf die Gruppen.

A4

Woher kommt der Zusammenhang?

AFB II

Jede Karte beschreibt einen beobachteten Zusammenhang. Ordne jede Karte bei der wahrscheinlichsten Erklärung ein.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1gemeinsame Ursache (Drittvariable)

2Wirkung andersherum

3Wirkung wie formuliert

Drittvariablen: Alter der Kinder, Regenwetter, Kälte. Andersherum: Knieprobleme führen zur Gehhilfe, der Tabellenkeller zur Entlassung, Schnittwunden zum Pflasterkauf. Belegte Wirkung: zufällige Einteilung (Dünger) bzw. bekannter Mechanismus (Gurt). Typischer Fehler: die Reihenfolge im Satz für die Wirkungsrichtung halten.

Frage: Was war zuerst da — und gibt es etwas Drittes, das beides auslöst?Frage nach Zeitpunkt und nach gemeinsamen Einflüssen.

Hilfe: Nur zwei Karten beschreiben eine Wirkung in der Richtung des Satzes.

A5

Einsätze nachgerechnet

AFB II Mix

Eine Feuerwehr wertet 200 Einsätze aus: Bei 50 Einsätzen waren mindestens 30 Kräfte vor Ort (\(K\)); davon entstand bei 30 ein großer Schaden (\(G\)). Bei den übrigen Einsätzen gab es 15 große Schäden. Berechne die Differenz \(P_K(G)-P_{\overline K}(G)\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(P_K(G)=\tfrac{30}{50}=0{,}6\), \(P_{\overline K}(G)=\tfrac{15}{150}=0{,}1\), Differenz \(0{,}5\). Häufiger Fehler: \(\tfrac{15}{200}\) — die Bezugsgruppe für \(\overline K\) sind nur die 150 kleineren Einsätze. Die große Differenz zeigt eine starke stochastische Abhängigkeit, aber keine Ursache.

Ansatz: Zwei bedingte Wahrscheinlichkeiten mit zwei verschiedenen Nennern.Wie viele Einsätze gehören zu \(\overline K\)?

Hilfe: \(200-50=150\).

A6

Schuhgröße und Lesen — getrennt betrachtet

AFB II

An einer Grundschule wurden je 100 Kinder aus Klasse 2 und Klasse 4 erfasst: \(F\) = große Füße (über Schuhgröße 33), \(L\) = gutes Leseergebnis. Klasse 2: 20 Kinder mit \(F\), davon 8 mit \(L\); 80 ohne \(F\), davon 32 mit \(L\). Klasse 4: 70 mit \(F\), davon 56 mit \(L\); 30 ohne \(F\), davon 24 mit \(L\). Ermittle auf vier Nachkommastellen:

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

\(P_F(L)\) für alle 200 Kinder
\(P_{\overline F}(L)\) für alle 200 Kinder
\(P_F(L)\) nur in Klasse 2
\(P_{\overline F}(L)\) nur in Klasse 4

Gesamt: \(\tfrac{64}{90}\approx0{,}7111\) gegenüber \(\tfrac{56}{110}\approx0{,}5091\) — abhängig. Getrennt: in Klasse 2 jeweils \(0{,}4\), in Klasse 4 jeweils \(0{,}8\) — unabhängig. Die Klassenstufe (Alter) erzeugt den Zusammenhang. Fehlerquelle: in der Gesamtrechnung nur eine Klasse zählen.

Ansatz: Für die Gesamtwerte Anzahlen beider Klassen addieren.\(F\): \(20+70=90\) Kinder, davon \(8+56=64\) mit \(L\).

Hilfe: Ohne \(F\): \(80+30=110\) Kinder, davon \(32+24=56\) mit \(L\).

A7

Die versteckte Drittvariable

AFB II

Ordne jedem beobachteten Zusammenhang die plausibelste Drittvariable zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

In allen fünf Fällen beeinflusst die Drittvariable beide Merkmale. Wer nach einer direkten Wirkung sucht („Fernseher verlängern das Leben“), übersieht den gemeinsamen Einfluss.

Ansatz: Frage: Was lässt beide Größen gleichzeitig steigen?Das ist die Drittvariable.

Hilfe: Bei Ärzten und Krankheitsfällen: Große Städte haben von beidem mehr.

A8

Eine Ursache belegen

AFB III

Eine Gärtnerei will herausfinden, ob ein Pflanzenstärkungsmittel dazu führt, dass Rosen stärker blühen. Plane das Vorgehen, indem du die Schritte ordnest.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Frage festlegen: Bewirkt das Mittel mehr stark blühende Rosen?

2Rosen per Los in zwei gleich große Gruppen einteilen

3Nur eine Gruppe mit dem Mittel behandeln, sonst alle gleich pflegen

4Anteil stark blühender Rosen in beiden Gruppen bestimmen

5Deutlicher Unterschied: Hinweis auf eine Wirkung; kein Unterschied: kein Beleg

Die zufällige Einteilung muss vor der Behandlung stehen. Wer die Rosen selbst auswählt (z. B. die kräftigsten behandelt), schafft eine Drittvariable und kann Wirkung und Auswahl nicht mehr trennen.

Frage: Warum muss das Los entscheiden, welche Rose behandelt wird?Damit sich die Gruppen nur im Mittel unterscheiden.

Hilfe: Frage — Los — Behandlung — Auswertung — Deutung.

A9

Fehlersuche im Zeitungsartikel

AFB III

Eine Studie ergab: Unter Kindern, die mit Nachtlicht schlafen (\(N\)), sind 40 % kurzsichtig (\(K\)), unter Kindern ohne Nachtlicht 15 %. Überprüfe die Sätze aus einem Zeitungsartikel — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 3 ist der klassische Kurzschluss vom Befund auf die Ursache. Zeile 6 klingt vernünftig, hilft aber nicht: Mehr Daten machen den Befund sicherer, die Drittvariable bleibt trotzdem drin.

Strategie: Trenne Rechnung (Zeilen mit Zahlen) von Deutung (Zeilen mit „also“, „verursacht“).Rechnungen können stimmen, Deutungen müssen begründet sein.

Hilfe: Die Produktregel ist symmetrisch in \(A\) und \(B\).

A10

Trickaufgabe — insgesamt hinten, einzeln vorn

AFB III

Ein Vergleichsportal meldet: „Lieferdienst Y ist pünktlicher als X (71 % gegen 67 %).“ Getrennt nach Wetter: X lieferte 85-mal bei Regen (53 pünktlich) und 15-mal bei Trockenheit (14 pünktlich); Y lieferte 15-mal bei Regen (7 pünktlich) und 85-mal bei Trockenheit (64 pünktlich). Schätze jeden Anteil ab.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 0,2, 2 = 0,2 bis 0,4, 3 = 0,4 bis 0,6, 4 = 0,6 bis 0,8, 5 = über 0,8. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = unter 0,25 = über 0,8

Pünktlichkeit von X bei Regen

Pünktlichkeit von Y bei Regen

Pünktlichkeit von X bei Trockenheit

Pünktlichkeit von Y bei Trockenheit

Anteil der Regenlieferungen bei X

X ist bei Regen (\(\approx0{,}62\) gegen \(\approx0{,}47\)) und bei Trockenheit (\(\approx0{,}93\) gegen \(\approx0{,}75\)) pünktlicher — liegt aber insgesamt hinten, weil 85 % seiner Lieferungen bei Regen stattfanden. Das Wetter ist die Drittvariable. Die Falle: aus dem Gesamtwert auf die Qualität schließen.

Ansatz: Vergleiche nur Lieferungen unter gleichen Bedingungen.Innerhalb einer Wettergruppe ist der Vergleich fair.

Hilfe: \(\tfrac{53}{85}\), \(\tfrac{7}{15}\), \(\tfrac{14}{15}\), \(\tfrac{64}{85}\), \(\tfrac{85}{100}\).

Übungen: Kausal oder nur statistisch?

Übungsaufgaben