Hund und Bewegung
AFB I–IIEine Krankenkasse wertet Daten von 2000 Versicherten aus: \(H\) bedeutet „besitzt einen Hund“, \(B\) bedeutet „bewegt sich täglich mindestens 30 Minuten im Freien“. Die Tabelle zeigt die Anzahlen.
| \(B\) | \(\overline B\) | Summe | |
|---|---|---|---|
| \(H\) | 360 | 140 | 500 |
| \(\overline H\) | 540 | 960 | 1500 |
| Summe | 900 | 1100 | 2000 |
- Geben Sie \(P(H)\), \(P(B)\) und \(P(H\cap B)\) an.
- Zeigen Sie, dass \(H\) und \(B\) stochastisch abhängig sind.
- Vergleichen Sie die Anteile der täglich Bewegten unter Hundebesitzern und unter den übrigen Versicherten.
- Nennen Sie drei verschiedene mögliche Erklärungen für den gefundenen Zusammenhang.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P(H)=\tfrac{500}{2000}=0{,}25\), \(P(B)=\tfrac{900}{2000}=0{,}45\), \(P(H\cap B)=\tfrac{360}{2000}=0{,}18\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P(H)\cdot P(B)=0{,}25\cdot0{,}45\) \(=0{,}1125\ne0{,}18=P(H\cap B)\). Also sind \(H\) und \(B\) stochastisch abhängig.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(P_H(B)=\tfrac{360}{500}=0{,}72\), \(P_{\overline H}(B)=\tfrac{540}{1500}=0{,}36\).
Unter den Hundebesitzern ist der Anteil der täglich Bewegten doppelt so hoch wie unter den übrigen Versicherten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
(1) \(H\) wirkt auf \(B\): Ein Hund muss ausgeführt werden. (2) \(B\) wirkt auf \(H\): Wer sich gern draußen bewegt, schafft sich eher einen Hund an. (3) Drittvariable: z. B. Wohnlage (Haus mit Garten am Stadtrand erleichtert beides) oder verfügbare Freizeit. Auch Kombinationen sind möglich; die Daten allein entscheiden nicht zwischen den Erklärungen.
Wirkt der Newsletter?
AFB II–IIIEin Onlineshop untersucht, ob Kundinnen und Kunden, die den Newsletter abonniert haben (\(N\)), im folgenden Monat häufiger etwas kaufen (\(K\)). Ausgewertet werden 1000 Kundenkonten, getrennt nach Stammkunden (mindestens drei Käufe im Vorjahr) und Neukunden. Die Tabelle zeigt die Anzahlen.
| Kauf (\(K\)) | kein Kauf | Summe | |
|---|---|---|---|
| Stammkunden mit Abo (\(N\)) | 150 | 150 | 300 |
| Stammkunden ohne Abo (\(\overline N\)) | 50 | 50 | 100 |
| Neukunden mit Abo (\(N\)) | 10 | 90 | 100 |
| Neukunden ohne Abo (\(\overline N\)) | 50 | 450 | 500 |
Die Marketingabteilung folgert: „Abonnenten kaufen mehr als doppelt so häufig. Der Newsletter wirkt — wir sollten allen Neukunden das Abo automatisch einrichten.“
- Untersuchen Sie anhand der Gesamtdaten aller 1000 Konten, ob \(N\) und \(K\) stochastisch unabhängig sind.
- Ermitteln Sie die Kaufanteile von Abonnenten und Nicht-Abonnenten getrennt für Stammkunden und für Neukunden.
- Erklären Sie den scheinbaren Widerspruch zwischen den Ergebnissen aus a) und b).
- Beurteilen Sie die Folgerung der Marketingabteilung und entwickeln Sie einen Versuchsaufbau, mit dem man die Wirkung des Newsletters zuverlässig prüfen könnte.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Gesamt: \(N\): 400 Konten, davon 160 mit Kauf; \(\overline N\): 600 Konten, davon 100 mit Kauf.
\(P(N)=0{,}4\), \(P(K)=0{,}26\), \(P(N\cap K)=0{,}16\); \(P(N)\cdot P(K)=0{,}104\ne0{,}16\). \(N\) und \(K\) sind stochastisch abhängig.
Zum Vergleich: \(P_N(K)=0{,}4\), \(P_{\overline N}(K)\approx0{,}167\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Stammkunden: \(P_N(K)=\tfrac{150}{300}=0{,}5\), \(P_{\overline N}(K)=\tfrac{50}{100}=0{,}5\).
Neukunden: \(P_N(K)=\tfrac{10}{100}=0{,}1\), \(P_{\overline N}(K)=\tfrac{50}{500}=0{,}1\).
Innerhalb jeder Kundengruppe sind \(N\) und \(K\) unabhängig.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Kundengruppe ist eine Drittvariable. Stammkunden haben viel häufiger ein Abo (75 % gegenüber knapp 17 % bei Neukunden) und kaufen zugleich viel häufiger (50 % gegenüber 10 %).
Unter den Abonnenten sind daher überwiegend Stammkunden (300 von 400), unter den Nicht-Abonnenten überwiegend Neukunden. Das hebt den Kaufanteil der Abonnenten im Gesamtbild an, obwohl das Abo innerhalb jeder Gruppe keinen Unterschied macht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Folgerung ist nicht gerechtfertigt. Der Unterschied im Gesamtbild beruht auf der Zusammensetzung der Gruppen, nicht auf dem Newsletter; innerhalb der Kundengruppen kaufen Abonnenten nicht häufiger. Aus diesen Beobachtungsdaten lässt sich keine Wirkung ableiten, ein automatisches Abo für Neukunden ist damit nicht begründet.
Zuverlässige Prüfung: Neukunden per Zufall in zwei Gruppen einteilen, nur eine Gruppe erhält den Newsletter, danach die Kaufanteile vergleichen. Einschränkung: Auch die hier ermittelte Gleichheit stammt aus Beobachtungsdaten; ein kleiner Effekt könnte durch weitere Einflüsse überdeckt sein — auch das klärt nur das Experiment.