MINT lernen

Übungen: Mittelwert und Erwartungswert

Was die Daten zeigen und was das Modell verspricht — und wie beides zusammenkommt.

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1

Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Daten oder Modell?
AFB I

Mittelwert \(\bar x\) und Erwartungswert \(\mu\) sehen sich ähnlich, sind aber nicht dasselbe. Gib alle richtigen Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\(\mu\) ist eine feste Kenngröße des Modells, \(\bar x\) schwankt von Reihe zu Reihe. Der typische Denkfehler: eine kurze Versuchsreihe als „Beweis“ gegen das Modell zu nehmen oder \(\mu\) aus neuen Daten „neu auszurechnen“.
Frage: Welche Größe hängt vom Zufall der Versuchsreihe ab?Alles, was aus Daten berechnet wird, schwankt; das Modell bleibt fest.
Hilfe: „Auf lange Sicht“ heißt: für großes \(n\) — nicht für jedes \(n\).
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen zu relativen Häufigkeiten und Mittelwerten. Beurteile jede kurz.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Absolute und relative Häufigkeit werden gern verwechselt — in die Mittelwertformel gehören die Anteile \(h_i\), sonst wird \(\bar x\) viel zu groß.
Frage: Anzahl oder Anteil?Relative Häufigkeiten sind Anteile an allen \(n\) Durchführungen.
Hilfe: Zufall bedeutet: Dieselbe Reihe noch einmal ergibt (fast) nie genau dieselben Zahlen.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Erläutere den Zusammenhang zwischen Versuchsreihe und Modell mit Fachbegriffen — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Aus einer Versuchsreihe bestimmt man relative und daraus den \(\bar x\). Im Modell ersetzt man die \(h_i\) durch die \(P(X=x_i)\) und erhält den \(\mu\). Hat man nur Daten, kann man \(\mu\) aus einer langen Versuchsreihe .

„Anzahlen“ bleibt übrig: Mit den absoluten Anzahlen statt der Anteile \(h_i\) erhält man die Summe aller Werte, nicht den Mittelwert — ein häufiger Fehler beim Gewichten.
Idee: Links steht die Datenwelt, rechts die Modellwelt.Jede Datengröße hat ein Gegenstück im Modell.
Hilfe: Die Paare heißen \(h_i\leftrightarrow P(X=x_i)\) und \(\bar x\leftrightarrow\mu\).
A4
Wohin gehört die Größe?
AFB II

Manche Begriffe gehören zur Versuchsreihe, manche zum Modell, manche zu beidem. Ordne jede Karte zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Versuchsreihe (Daten)
2Modell (Zufallsgröße)
3beides
Die möglichen Werte \(x_i\) und die Regel „Gewichte ergeben 1“ gelten in beiden Welten — nur die Gewichte selbst sind verschieden. Ein häufiger Fehler ist, \(\sigma\) und \(\bar s\) gleichzusetzen: \(\bar s\) kommt aus Daten, \(\sigma\) aus dem Modell.
Ansatz: Frag bei jeder Karte: Brauche ich dafür eine durchgeführte Versuchsreihe?Wenn ja: Daten. Wenn nein: Modell.
Hilfe: Der Querstrich (\(\bar x\), \(\bar s\)) steht für „aus Daten gemittelt“.
A5
Rechenkette: Welpen pro Wurf
AFB II

Eine Tierärztin notiert bei 40 Würfen einer Hunderasse die Anzahl der Welpen: 3 Welpen: 6-mal, 4 Welpen: 10-mal, 5 Welpen: 16-mal, 6 Welpen: 8-mal. Berechne die Kenngrößen Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. relative Häufigkeit \(h\) für 5 Welpen
  2. Mittelwert \(\bar x\) Welpen
  3. \(\sum(x_i-\bar x)^2\cdot h_i\)
  4. empirische Standardabweichung \(\bar s\) Welpen
\(h=\tfrac{16}{40}=0{,}4\); \(\bar x=3\cdot0{,}15+4\cdot0{,}25+5\cdot0{,}4+6\cdot0{,}2=4{,}65\). Quadrate: \(2{,}7225\cdot0{,}15+0{,}4225\cdot0{,}25+0{,}1225\cdot0{,}4+1{,}8225\cdot0{,}2=0{,}9275\), \(\bar s=\sqrt{0{,}9275}\approx0{,}963\). Typischer Fehler: mit den Anzahlen 6, 10, 16, 8 statt mit den \(h_i\) gewichten.
Ansatz: Wandle zuerst alle Anzahlen in relative Häufigkeiten um.Die Formeln für \(\bar x\) und \(\bar s\) arbeiten mit Anteilen.
Hilfe: \(h_i=0{,}15;\ 0{,}25;\ 0{,}4;\ 0{,}2\); Abweichungen \(-1{,}65;\ -0{,}65;\ 0{,}35;\ 1{,}35\).
A6
Rote Ampeln auf dem Arbeitsweg
AFB II Mix

Auf einer Strecke folgen zwei Ampeln. Die erste ist mit 0,4 rot. Ist sie rot, ist die zweite nur mit 0,25 rot, sonst mit 0,5. \(X\) = Anzahl roter Ampeln. Bestimme die Werte und verbinde.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
\(P(X=1)\) hat zwei Pfade: \(0{,}4\cdot0{,}75+0{,}6\cdot0{,}5=0{,}6\). Dann \(\mu=0\cdot0{,}3+1\cdot0{,}6+2\cdot0{,}1=0{,}8\) und für 50 Fahrten \(50\cdot0{,}8=40\). Wer \(P(X=1)\) mit nur einem Pfad rechnet, erhält auch einen falschen Erwartungswert.
Ansatz: Zeichne den Baum mit bedingten Wahrscheinlichkeiten auf der 2. Stufe.Die zweite Ampel hängt von der ersten ab — Pfadregel wie in 2.1.
Hilfe: \(\mu=\sum x_i\cdot P(X=x_i)\) — genau wie \(\bar x\), nur mit Wahrscheinlichkeiten.
A7
Vom Zettel zum Mittelwert
AFB II

Ein Eiscafé notiert bei 200 Kundinnen und Kunden, wie viele Kugeln sie kaufen, und will das Ergebnis mit dem Modell vergleichen. Stelle die Arbeitsschritte in der richtigen Reihenfolge dar.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Anzahlen für 1, 2, 3, … Kugeln auszählen
2Durch \(n=200\) teilen: relative Häufigkeiten \(h_i\)
3Produkte \(x_i\cdot h_i\) bilden
4Produkte addieren: \(\bar x\)
5\(\bar x\) mit dem Erwartungswert \(\mu\) des Modells vergleichen
Ein häufiger Kurzschluss ist, die Werte 1, 2, 3 einfach zu mitteln (\(\tfrac{1+2+3}{3}\)) — dabei fehlt die Gewichtung mit den \(h_i\). Der Vergleich mit \(\mu\) kommt ganz am Ende: Erst muss \(\bar x\) feststehen.
Frage: Welche Größe brauchst du, um zu gewichten?Die relativen Häufigkeiten \(h_i\) — also musst du vorher teilen.
Hilfe: Zählen — teilen — multiplizieren — addieren — vergleichen.
A8
Die fehlende Anzahl
AFB III

Bei einer Umfrage zur Anzahl der Fahrräder pro Haushalt ergab sich: 0 Räder: 8-mal, 1 Rad: 20-mal, 2 Räder: \(k\)-mal, 3 Räder: 16-mal, 4 Räder: 8-mal. Der Mittelwert beträgt \(\bar x=1{,}95\). Ermittle \(k\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Mit \(n=52+k\): \(\bar x=\dfrac{20+2k+48+32}{52+k}=1{,}95\) \(\Rightarrow\) \(100+2k=101{,}4+1{,}95k\) \(\Rightarrow\) \(k=28\). Typischer Fehler: \(n\) als feste Zahl 52 behandeln — dabei gehören die \(k\) Haushalte auch zum Nenner.
Ansatz: Schreibe \(\bar x\) als „Summe aller Räder durch Anzahl der Haushalte“.Beide, Zähler und Nenner, enthalten \(k\).
Hilfe: Summe aller Räder: \(0\cdot8+1\cdot20+2k+3\cdot16+4\cdot8=100+2k\).
A9
Fehlersuche: 20 Drehungen am Kreisel
AFB III

Ein Kreisel zeigt 0, 2 oder 10 Punkte mit den Wahrscheinlichkeiten 0,5; 0,4 und 0,1. Nach 20 Drehungen: 0 Punkte 12-mal, 2 Punkte 5-mal, 10 Punkte 3-mal. Überprüfe die Auswertung — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Drei Klassiker in einem Heft: ungewichtetes Mitteln der Werte, das Modell nach einer kurzen Reihe verwerfen, und „auf lange Sicht“ als „exakt“ missverstehen.
Strategie: Rechne \(h_i\), \(\bar x\) und \(\mu\) selbst.Danach prüfst du die Aussagen über das Verhältnis von Daten und Modell.
Hilfe: \(h_i=\tfrac{12}{20};\ \tfrac{5}{20};\ \tfrac{3}{20}\).
A10
Trickaufgabe — zwei Kurse, ein Mittelwert
AFB III

Zwei Kurse haben notiert, wie viele Bücher jede Person in den Ferien gelesen hat. Schätze jeweils den gemeinsamen Mittelwert beider Kurse ab.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 1,5, 2 = 1,5 bis unter 2, 3 = 2 bis unter 2,5, 4 = 2,5 bis unter 3, 5 = 3 oder mehr. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = unter 1,55 = 3 oder mehr
Kurs A: 10 Personen, \(\bar x=4\); Kurs B: 90 Personen, \(\bar x=1\)
Kurs A: 30 Personen, \(\bar x=1\); Kurs B: 20 Personen, \(\bar x=3\)
Kurs A: 50 Personen, \(\bar x=1\); Kurs B: 50 Personen, \(\bar x=3{,}4\)
Kurs A: 20 Personen, \(\bar x=5\); Kurs B: 80 Personen, \(\bar x=2\)
Kurs A: 75 Personen, \(\bar x=3{,}5\); Kurs B: 25 Personen, \(\bar x=4\)
Die Falle: einfach \(\tfrac{4+1}{2}=2{,}5\) rechnen. Der gemeinsame Mittelwert gewichtet jede Gruppe mit ihrem Anteil: \(0{,}1\cdot4+0{,}9\cdot1=1{,}3\). Ebenso \(0{,}6\cdot1+0{,}4\cdot3=1{,}8\), \(2{,}2\), \(0{,}2\cdot5+0{,}8\cdot2=2{,}6\) und \(0{,}75\cdot3{,}5+0{,}25\cdot4=3{,}625\).
Ansatz: Denk an die Formel \(\bar x=\sum x_i\cdot h_i\) — die Gruppen sind die „Werte“, ihre Anteile die Gewichte.Nur bei gleich großen Gruppen stimmt der einfache Durchschnitt.
Hilfe: Gesamtzahl der Bücher durch Gesamtzahl der Personen, z. B. \(\tfrac{10\cdot4+90\cdot1}{100}\).