Aus Daten: die Häufigkeitsverteilung
Nach \(n\) Durchführungen beschreibt man die Ergebnisse mit relativen Häufigkeiten und ihren Kenngrößen.
- Rel. Häufigkeit:\(h_i=\dfrac{\text{Anzahl von }x_i}{n}\).
- Mittelwert:\(\bar x=\sum x_i\cdot h_i\) — jeder Wert mit seinem Anteil gewichtet.
- Streuung:empirische Standardabweichung \(\bar s=\sqrt{\sum (x_i-\bar x)^2\cdot h_i}\).
- Zufall:jede neue Versuchsreihe liefert etwas andere Werte.
Das Glücksrad zeigt 1, 2 oder 5 Punkte. Drehe einzeln oder in Serien und vergleiche die Säulen der relativen Häufigkeiten mit den gestrichelten Wahrscheinlichkeiten. Rechts: der Mittelwert \(\bar x\) über der Anzahl der Drehungen.
Halte fest: Mit wachsendem \(n\) nähern sich die relativen Häufigkeiten den Wahrscheinlichkeiten — und der Mittelwert \(\bar x\) dem festen Wert \(2{,}1\).
Aus dem Modell: der Erwartungswert
| Daten (Versuchsreihe) | Modell (Zufallsgröße) |
|---|---|
| relative Häufigkeit \(h_i\) | Wahrscheinlichkeit \(P(X=x_i)\) |
| Mittelwert \(\bar x\) | Erwartungswert \(\mu=E(X)\) |
| empirische Standardabweichung \(\bar s\) | Standardabweichung \(\sigma\) |
- Gleiche Formel:man ersetzt \(h_i\) durch \(P(X=x_i)\): \(\mu=1\cdot0{,}5+2\cdot0{,}3+5\cdot0{,}2=2{,}1\).
- Schätzen:aus einer langen Versuchsreihe schätzt man \(\mu\approx\bar x\) und \(\sigma\approx\bar s\).
- Prognose:aus dem Modell sagt man vorher, wo \(\bar x\) bei großem \(n\) ungefähr liegen wird.
Auf lange Sicht: \(h_i\approx P(X=x_i)\), \(\bar x\approx\mu\) und \(\bar s\approx\sigma\) für großes \(n\)
Allgemeine Hinweise
\(\bar x\) schwankt, \(\mu\) nicht
Der Mittelwert hängt von der Versuchsreihe ab. Der Erwartungswert ist eine feste Eigenschaft des Modells.
Kein Ausgleich
Nach vielen Einsen wird eine Fünf nicht „fällig“. Das Rad hat kein Gedächtnis — nur der Anteil gleicht sich an.
Empirisch: durch n teilen
Die Kenngrößen einer Häufigkeitsverteilung werden mit \(h_i\) gebildet — im GTR ist das \(\sigma_x\), nicht \(s_x\).