Carsharing-Station
AFB I–IIEin Carsharing-Anbieter betreibt an einem Bahnhof eine Station mit vier Fahrzeugen. An 200 Tagen wurde notiert, wie viele der Fahrzeuge im Laufe des Tages mindestens einmal gebucht waren.
| Anzahl gebuchter Fahrzeuge | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Anzahl der Tage | 10 | 34 | 66 | 58 | 32 |
- Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten \(h_i\).
- Bestimmen Sie den Mittelwert \(\bar x\) und die empirische Standardabweichung \(\bar s\).
- Interpretieren Sie den Mittelwert \(\bar x\) im Sachzusammenhang.
- Der Anbieter wiederholt die Erhebung an 200 weiteren Tagen. Erläutern Sie, welche Ergebnisse er dabei erwarten kann und welche Rolle ein Modell mit Erwartungswert \(\mu\) spielt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(n=200\):
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(h_i\) | 0,05 | 0,17 | 0,33 | 0,29 | 0,16 |
Kontrolle: Summe 1.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\bar x=0\cdot0{,}05+1\cdot0{,}17+2\cdot0{,}33+3\cdot0{,}29+4\cdot0{,}16=2{,}34\).
\(\bar s^2=(-2{,}34)^2\cdot0{,}05+(-1{,}34)^2\cdot0{,}17+(-0{,}34)^2\cdot0{,}33+0{,}66^2\cdot0{,}29+1{,}66^2\cdot0{,}16=1{,}1844\), also \(\bar s\approx1{,}09\).
GTR (1-VAR) bzw. CAS liefern \(\bar x=2{,}34\) und \(\sigma_x\approx1{,}088\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
An den 200 Tagen waren im Durchschnitt 2,34 der vier Fahrzeuge pro Tag gebucht. An einem einzelnen Tag sind es natürlich 0, 1, 2, 3 oder 4 Fahrzeuge.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Eine neue Versuchsreihe liefert wegen des Zufalls etwas andere \(h_i\), ein etwas anderes \(\bar x\) und \(\bar s\) — die Werte sollten aber in ähnlicher Größenordnung liegen, solange sich die Nachfrage nicht ändert.
In einem Modell mit festen Wahrscheinlichkeiten ist \(\mu\) der feste Wert, um den die Mittelwerte schwanken. Aus langen Versuchsreihen schätzt man \(\mu\approx\bar x\) (hier etwa 2,3); umgekehrt sagt das Modell voraus, wo \(\bar x\) bei großem \(n\) ungefähr liegen wird.
Sterne im Lernspiel
AFB II–IIIEin Lernspiel vergibt nach jeder Runde 1, 3 oder 10 Sterne. Laut Entwicklerfirma gilt dabei \(P(X=1)=0{,}6\), \(P(X=3)=0{,}3\) und \(P(X=10)=0{,}1\), wobei \(X\) die Anzahl der Sterne in einer Runde ist.
Lea hat 50 Runden gespielt und notiert. In einem Online-Forum haben Spielerinnen und Spieler zusätzlich die Ergebnisse von 2000 Runden gesammelt.
\n| 1 Stern | 3 Sterne | 10 Sterne | |
|---|---|---|---|
| Lea (50 Runden) | 34 | 13 | 3 |
| Forum (2000 Runden) | 1260 | 560 | 180 |
- Weisen Sie nach, dass für das Modell der Entwicklerfirma \(\mu=2{,}5\) gilt.
- Vergleichen Sie den Mittelwert aus Leas 50 Runden mit \(\mu\).
- Lea schreibt: „Die Firma lügt — ich bekomme im Schnitt viel weniger Sterne als versprochen.“ Beurteilen Sie diese Aussage.
- Nehmen Sie unter Verwendung der Forumsdaten Stellung dazu, ob die Angaben der Entwicklerfirma glaubwürdig sind.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\mu=1\cdot0{,}6+3\cdot0{,}3+10\cdot0{,}1=0{,}6+0{,}9+1=2{,}5\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(h_i=\tfrac{34}{50}=0{,}68\); \(\tfrac{13}{50}=0{,}26\); \(\tfrac{3}{50}=0{,}06\). \(\bar x=0{,}68+0{,}78+0{,}6=2{,}06\).
Leas Mittelwert liegt um 0,44 Sterne unter \(\mu=2{,}5\), also etwa 18 % darunter. Der Unterschied entsteht vor allem, weil sie nur 3-mal (6 %) statt der erwarteten etwa 5-mal (10 %) 10 Sterne bekam.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage ist nicht haltbar. 50 Runden sind eine kurze Versuchsreihe; \(\bar x\) schwankt dabei deutlich. Schon zwei 10-Sterne-Runden mehr hätten \(\bar x\) um \(\tfrac{2\cdot9}{50}=0{,}36\) auf \(2{,}42\) erhöht (je 1 Stern weniger, 10 mehr).
Ein Mittelwert von 2,06 statt 2,5 ist daher kein Beleg für eine Lüge — er ist mit dem Modell gut vereinbar.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Forum: \(h_i=0{,}63;\ 0{,}28;\ 0{,}09\) und \(\bar x=0{,}63+0{,}84+0{,}9=2{,}37\).
Bei \(n=2000\) sollten die \(h_i\) nahe an den Wahrscheinlichkeiten liegen. Die Abweichungen sind klein (z. B. 9 % statt 10 % für 10 Sterne), aber alle in dieselbe Richtung: seltene hohe Gewinne etwas seltener, 1 Stern etwas häufiger. Mögliche Positionen:
Die Angaben sind im Wesentlichen glaubwürdig — die Abweichungen sind gering und können zufällig sein. Oder: Es gibt einen leichten Verdacht, dass 10 Sterne etwas seltener sind als angegeben; zur sicheren Entscheidung bräuchte man noch mehr Daten oder ein Prüfverfahren. Beide Urteile sind mit Begründung vertretbar; eine „Lüge“ lässt sich mit diesen Daten nicht belegen.