Histogramme deuten: Übungen – Mathe Klasse 13

A1

Was zeigt ein Histogramm?

AFB I

Ein Histogramm stellt die Binomialverteilung \(B(n;p)\) mit Säulen über \(k=0,1,\dots,n\) dar. Gib alle richtigen Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Säulenhöhen sind Wahrscheinlichkeiten, keine Anzahlen — die Anzahl der Treffer steht auf der \(k\)-Achse. Mit wachsendem \(n\) verteilt sich die Gesamtsumme 1 auf mehr Säulen, die Säulen werden also niedriger.

Frage: Was steht an der Hochachse, was an der \(k\)-Achse?Hochachse: Wahrscheinlichkeit; \(k\)-Achse: Trefferzahl.

Hilfe: Die Summe aller Säulen ist immer 1 — egal wie groß \(n\) ist.

A2

Stimmt's? — Form und Lage

AFB I

Fünf Behauptungen über Histogramme von Binomialverteilungen. Beurteile jede kurz.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Eine Änderung von \(p\) verschiebt das Histogramm, der Tausch \(p\leftrightarrow1-p\) spiegelt es. Beim Spiegeln bleibt die Breite gleich — wer \(\sigma\) für verschieden hält, hat \(p(1-p)=(1-p)p\) übersehen.

Frage: Was passiert mit \(\mu=n\cdot p\), wenn \(p\) wächst?Das Maximum liegt nahe \(\mu\) — es wandert mit.

Hilfe: Spiegelachse ist immer \(k=\tfrac n2\).

A3

Lückentext: n wächst

AFB I

Beschreibe mit Fachbegriffen, wie sich das Histogramm verändert, wenn \(n\) bei festem \(p\) wächst — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Wächst \(n\), so rückt das Maximum mit \(\mu=n\cdot p\) nach . Das Histogramm wird , weil die mit \(n\) zunimmt. Da alle Säulen zusammen 1 ergeben, werden die einzelnen Säulen . Außerdem wird das Histogramm und nähert sich einer Glockenform.

„höher“ bleibt übrig — das ist der typische Denkfehler: Mehr Durchführungen bedeuten nicht höhere Säulen, denn die Summe 1 verteilt sich auf mehr Werte.

Idee: Gehe Lage, Breite, Höhe und Form nacheinander durch.Lage: \(\mu\); Breite: \(\sigma\); Höhe: Summe 1.

Hilfe: Breiter und gleichzeitig höher geht nicht, wenn die Summe fest bleibt.

A4

p aus dem Maximum

AFB II

Ein Histogramm einer Binomialverteilung mit \(n=25\) hat seine höchste Säule bei \(k=15\). Ermittle einen Schätzwert für die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Das Maximum liegt nahe \(\mu=n\cdot p\), also \(p\approx\tfrac{15}{25}=0{,}6\). Genau ist das nicht: Auch z. B. \(p=0{,}59\) hat das Maximum bei 15. Häufiger Fehler: \(p\approx\tfrac{15}{100}\) — die Säulenposition ist keine Prozentangabe.

Ansatz: Wo liegt das Maximum im Vergleich zu \(\mu\)?Die höchste Säule liegt bei der ganzen Zahl nahe \(n\cdot p\).

Rechnung: \(n\cdot p\approx15\) nach \(p\) auflösen.

A5

Links, Mitte oder rechts?

AFB II

Alle Karten beziehen sich auf Binomialverteilungen mit \(n=30\). Ordne jede Karte nach der Lage des Maximums ein.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Maximum links (k < 10)

2symmetrisch um 15

3Maximum rechts (k > 20)

Das Spiegelbild von \(B(30;0{,}15)\) ist \(B(30;0{,}85)\) mit Maximum bei 26 — also rechts. „Läuft nach rechts flach aus“ heißt: Die hohen Säulen liegen links. Viele sortieren genau diese Karte nach rechts.

Ansatz: Bestimme für jede Verteilung \(\mu=30\cdot p\).Für die Textkarten: Wo stehen die hohen Säulen?

Hilfe: „Flach auslaufen“ beschreibt die Seite, auf der die Säulen klein werden.

A6

Vom Histogramm zur Rechnung

AFB II Mix

Ein Histogramm zeigt \(B(16;\,0{,}25)\). Berechne die Kennwerte und zwei Wahrscheinlichkeiten (auf vier Nachkommastellen).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Lage des Maximums \(\mu\)
Standardabweichung \(\sigma\)
Höhe der höchsten Säule \(P(X=4)\)
\(P(3\le X\le5)\)

\(\sigma=\sqrt{16\cdot0{,}25\cdot0{,}75}=\sqrt3\). Die drei mittleren Säulen tragen zusammen gut 60 % — daran sieht man, wie schmal die Verteilung ist. Fehlerquelle bei \(P(3\le X\le5)\): \(P(X\le5)-P(X\le3)\) rechnen und damit \(X=3\) verlieren.

Ansatz: \(\mu=n\cdot p\), \(\sigma=\sqrt{n\,p\,(1-p)}\).Für die Wahrscheinlichkeiten: Bpd/Bcd bzw. binomPdf/binomCdf.

Hilfe: binomCdf(16,0.25,3,5) liefert direkt \(P(3\le X\le5)\).

A7

Parameter und Bild

AFB II

Fünf Binomialverteilungen und fünf Beschreibungen ihrer Histogramme. Ordne zu — achte auf Lage und Breite.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Erst die Lage mit \(n\cdot p\), dann die Breite mit \(\sigma\). \(B(10;0{,}2)\) und \(B(10;0{,}8)\) sind gleich breit, aber gespiegelt. \(B(40;0{,}1)\) hat trotz \(n=40\) sein Maximum weit links — nur die Lage verrät \(p\).

Ansatz: Berechne \(n\cdot p\) für jede Verteilung.Damit ist jede Beschreibung schon eindeutig bestimmt.

Hilfe: Die Standardabweichung dient zur Kontrolle: \(\sqrt{10\cdot0{,}2\cdot0{,}8}\approx1{,}26\).

A8

Strategie: welches Histogramm?

AFB III

Vier Histogramme ohne Beschriftung der Parameter liegen vor; eines gehört zu \(B(36;\,0{,}25)\). Entwickle eine sinnvolle Prüfreihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Erwartungswert berechnen: \(\mu=36\cdot0{,}25=9\)

2Histogramme mit der höchsten Säule bei \(k=9\) auswählen

3Standardabweichung berechnen: \(\sigma=\sqrt{6{,}75}\approx2{,}6\)

4Beschriftung der Hochachse prüfen, dann Breiten vergleichen

5Probe: eine Säulenhöhe nachrechnen, z. B. \(P(X=9)\approx0{,}152\)

Wer mit der Breite beginnt, verliert Zeit: Die Lage des Maximums sortiert sofort die meisten Bilder aus. Und ohne Blick auf die Hochachse täuscht die Breite — zwei verschieden skalierte Histogramme sehen gleich aus.

Frage: Welche Eigenschaft sieht man am schnellsten?Die Lage der höchsten Säule.

Hilfe: Reihenfolge: Lage — auswählen — Breite — Achse — Probe.

A9

Fehlersuche: Deutung eines Histogramms

AFB III

Sechs Sätze aus einem Referat über das Histogramm von \(B(50;\,0{,}3)\). Überprüfe sie — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Alle drei Fehler verwechseln Wahrscheinlichkeit und Anzahl. Wer die Hochachse als „Häufigkeit in Stück“ liest, kommt auf 12 Treffer oder auf die Summe 50.

Strategie: Frage bei jedem Satz: Ist hier von einer Wahrscheinlichkeit oder einer Trefferzahl die Rede?Säulenhöhe = Wahrscheinlichkeit, Säulenposition = Trefferzahl.

Hilfe: \(\mu=15\), \(\sigma=\sqrt{10{,}5}\approx3{,}24\).

A10

Trickaufgabe — Wie hoch ist die höchste Säule?

AFB III

Ohne Hochachse sehen viele Histogramme gleich aus. Schätze ab, wie hoch jeweils die höchste Säule ist.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 0,1, 2 = 0,1 bis 0,2, 3 = 0,2 bis 0,3, 4 = 0,3 bis 0,4, 5 = über 0,4. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = unter 0,15 = über 0,4

\(B(100;\,0{,}5)\)

\(B(40;\,0{,}25)\)

\(B(10;\,0{,}5)\)

\(B(20;\,0{,}05)\)

\(B(5;\,0{,}1)\)

Die Falle: Das große \(n=100\) wirkt „mächtig“, hat aber die niedrigste Säule (\(\approx0{,}080\)), weil sich die Wahrscheinlichkeit auf viele Werte verteilt. Kleines \(n\) und kleines \(p\) bündeln sie: \(P(X=0)=0{,}9^5\approx0{,}59\). Dazwischen: \(0{,}144\); \(0{,}246\); \(0{,}377\).

Ansatz: Je kleiner \(\sigma\), desto mehr Wahrscheinlichkeit steckt in wenigen Säulen.Schmale Histogramme haben hohe Säulen.

Hilfe: Rechne \(\sigma\) grob: \(5\); \(2{,}7\); \(1{,}6\); \(1\); \(0{,}7\).

Übungen: Histogramme deuten

Übungsaufgaben