Ausleihen im Fahrradverleih
AFB I–IIEin Fahrradverleih an der Küste besitzt 24 Räder. In der Hauptsaison wird jedes Rad an einem Tag unabhängig von den anderen mit derselben Wahrscheinlichkeit \(p\) ausgeliehen. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der an einem Tag ausgeliehenen Räder an. Die Abbildung zeigt das Histogramm der Verteilung von \(X\).
- Lesen Sie die wahrscheinlichste Anzahl ausgeliehener Räder und ihre Wahrscheinlichkeit näherungsweise ab.
- Begründen Sie anhand der Form des Histogramms, dass \(p>0{,}5\) gilt, und bestimmen Sie einen Schätzwert für \(p\).
- Nehmen Sie \(p=0{,}75\) an. Berechnen Sie \(\mu\), \(\sigma\) und die Wahrscheinlichkeit für den orange markierten Bereich.
- Skizzieren Sie qualitativ das Histogramm für die Nebensaison mit \(p=0{,}25\) und erläutern Sie seinen Zusammenhang mit der Abbildung.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die höchste Säule liegt bei \(k=18\); ihre Höhe beträgt etwa \(0{,}18\) bis \(0{,}19\) (exakt \(P(X=18)\approx0{,}185\)).
Am wahrscheinlichsten werden 18 Räder ausgeliehen, mit etwa 18,5 %.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Das Maximum liegt deutlich rechts von \(\tfrac n2=12\), das Histogramm läuft nach links flach aus. Bei \(p=0{,}5\) wäre es symmetrisch zu 12, bei \(p<0{,}5\) läge das Maximum links — also \(p>0{,}5\).
Schätzung: \(n\cdot p\approx18\Rightarrow p\approx\tfrac{18}{24}=0{,}75\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\mu=24\cdot0{,}75=18\); \(\sigma=\sqrt{24\cdot0{,}75\cdot0{,}25}=\sqrt{4{,}5}\approx2{,}12\).
\(P(X\ge20)=1-P(X\le19)\); GTR: Bcd mit Lower 0, Upper 19, Numtrial 24, p 0.75; CAS: 1 − binomCdf(24,0.75,0,19).
\(P(X\ge20)\approx1-0{,}753=0{,}247\). An etwa jedem vierten Tag werden mindestens 20 Räder ausgeliehen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Skizze: Spiegelbild der Abbildung an \(k=12\) — höchste Säule bei \(k=6\) mit derselben Höhe von etwa \(0{,}185\), nach rechts flach auslaufend.
Begründung: Die Anzahl ausgeliehener Räder bei \(p=0{,}25\) verhält sich wie die Anzahl nicht ausgeliehener Räder bei \(p=0{,}75\); es gilt \(P(X=k)\) bei \(p=0{,}25\) gleich \(P(X=24-k)\) bei \(p=0{,}75\). \(\mu=6\), \(\sigma\) bleibt \(\approx2{,}12\).
Zwei Umfragen, zwei Bilder
AFB II–IIIEine Marktforscherin untersucht, wie viele Menschen beim nächsten Autokauf ein Elektroauto in Betracht ziehen. Sie geht davon aus, dass dies auf 40 % der Bevölkerung zutrifft. In einer ersten Umfrage befragt sie 30 zufällig ausgewählte Personen (Anzahl der Zustimmenden: \(X\)), in einer zweiten 60 Personen (Anzahl: \(Y\)). Beide Anzahlen werden als binomialverteilt modelliert.
Ein Praktikant erstellt die beiden Histogramme mit einer Software, die die Hochachse automatisch skaliert. Er folgert: „Beide Bilder sind gleich hoch und sehen gleich aus. Bei 60 Befragten sind die Säulen aber offenbar niedriger — die größere Umfrage ist also unzuverlässiger.“
- Vergleichen Sie die beiden Verteilungen hinsichtlich Lage des Maximums und Standardabweichung.
- Erklären Sie, warum die Abbildungen trotz verschiedener Verteilungen fast gleich aussehen und warum die höchste Säule in Abbildung 2 tatsächlich niedriger ist.
- Der Anteil der Zustimmenden in der Stichprobe soll zwischen 30 % und 50 % liegen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür für beide Umfragen.
- Beurteilen Sie die Schlussfolgerung des Praktikanten.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(X\): \(\mu=12\), \(\sigma=\sqrt{7{,}2}\approx2{,}68\). \(Y\): \(\mu=24\), \(\sigma=\sqrt{14{,}4}\approx3{,}79\).
Das Maximum von \(Y\) liegt doppelt so weit rechts; \(Y\) streut absolut stärker, aber nur um den Faktor \(\sqrt2\approx1{,}41\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Hochachsen sind verschieden skaliert (bis 0,16 bzw. 0,12), dadurch wirken beide Bilder gleich hoch. Auch die \(k\)-Achsen haben verschiedene Bereiche.
Die Säulen von \(Y\) sind tatsächlich niedriger (\(P(Y=24)\approx0{,}105\) gegenüber \(P(X=12)\approx0{,}147\)), weil sich die Summe 1 auf mehr mögliche Werte verteilt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
30 Befragte: \(9\le X\le15\); \(P(9\le X\le15)\approx0{,}809\) (CAS: binomCdf(30,0.4,9,15)).
60 Befragte: \(18\le Y\le30\); \(P(18\le Y\le30)\approx0{,}914\).
Bei der größeren Umfrage liegt der Stichprobenanteil mit höherer Wahrscheinlichkeit im Bereich 30 % bis 50 %.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Schlussfolgerung ist falsch. Niedrigere Säulen bedeuten nur, dass jeder einzelne Wert weniger wahrscheinlich ist — es gibt mehr mögliche Werte. Für die Zuverlässigkeit zählt, wie wahrscheinlich der Anteil nahe bei 40 % liegt; das ist bei 60 Befragten mit gut 91 % wahrscheinlicher als bei 30 mit knapp 81 %.
Zudem hat der Praktikant die unterschiedlich skalierten Achsen übersehen: Die Bilder „sehen gleich aus“, obwohl sie es nicht sind. Die größere Umfrage ist relativ zu \(n\) sogar schmaler (\(\tfrac{\sigma}{n}\approx0{,}063\) statt \(\approx0{,}089\)).