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Übungen: Faire Spiele

Auszahlung, Einsatz, Wahrscheinlichkeit — und die Frage, wer auf lange Sicht gewinnt.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Wann ist ein Spiel fair?
AFB I

\(G\) ist der Reingewinn des Spielers (Auszahlung minus Einsatz). Gib alle richtigen Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Fair heißt nicht „50 : 50“: Ein Spiel mit seltenem, aber hohem Gewinn kann fair sein, eines mit häufigem, aber kleinem Gewinn unfair. Entscheidend ist \(E(G)\) — und in einzelnen Runden wird auch bei einem fairen Spiel gewonnen und verloren.
Frage: Worauf bezieht sich „fair“ — auf eine Runde oder auf viele?Fairness ist eine Aussage über das langfristige Mittel.
Hilfe: \(E(G)=E(\text{Auszahlung})-\text{Einsatz}\).
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über Spiele und Reingewinn. Beurteile jede kurz.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Der Blickwinkel entscheidet: \(G\) ist der Reingewinn des Spielers. Der Veranstalter hat genau den Gegenwert \(-G\). Wer die Perspektive wechselt, dreht das Vorzeichen um.
Frage: Aus wessen Sicht ist \(G\) definiert?Aus Sicht des Spielers — der Veranstalter hat \(-G\).
Hilfe: Aussage 3: Der Einsatz wird von der Auszahlung abgezogen.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Beschreibe mit Fachbegriffen, wie man ein Spiel beurteilt — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Der Reingewinn \(G\) ist die minus den . Geht der Einsatz verloren, ist \(G\) . Ein Spiel heißt fair, wenn \(E(G)\) gleich ist; ist \(E(G)\) positiv, ist es für den Spieler .

„wahrscheinlich“ bleibt übrig: Ob ein Gewinn wahrscheinlich ist, entscheidet nicht über Fairness — nur das Produkt aus Auszahlung und Wahrscheinlichkeit, verglichen mit dem Einsatz.
Idee: Erst den Reingewinn definieren, dann die drei Fälle von \(E(G)\).Negativ — null — positiv.
Hilfe: \(G=\text{Auszahlung}-\text{Einsatz}\).
A4
Ungünstig, fair oder günstig?
AFB II

Ordne jedes Spiel aus Sicht des Spielers zu. Angegeben sind Einsatz und Auszahlung.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1ungünstig
2fair
3günstig
Vergleiche jeweils \(E(\text{Auszahlung})\) mit dem Einsatz: \(0{,}9<1\); \(4<5\); \(2=2\); \(1+2=3\); \(4=4\); \(0{,}6>0{,}5\); \(0{,}9+0{,}25=1{,}15>1\). Typischer Fehler: die Auszahlung mit dem Reingewinn verwechseln und den Einsatz doppelt abziehen.
Ansatz: Berechne für jedes Spiel \(E(\text{Auszahlung})\).Ist sie gleich dem Einsatz, ist das Spiel fair.
Hilfe: Karte 4: \(5\cdot0{,}2+20\cdot0{,}1=3\).
A5
Rechenkette: Zwei Joker
AFB II Mix

Aus fünf verdeckten Karten, darunter zwei Joker, zieht man zwei Karten ohne Zurücklegen. Bei zwei Jokern werden \(a\) Euro ausgezahlt, sonst nichts; der Einsatz beträgt 1 €. Berechne Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Wahrscheinlichkeit für zwei Joker
  2. \(E(G)\) für \(a=6\) €
  3. \(a\) für ein faires Spiel €
  4. fairer Einsatz bei \(a=6\) €
\(P=\tfrac25\cdot\tfrac14=\tfrac1{10}\) (Pfadregel ohne Zurücklegen). \(E(G)=(6-1)\cdot0{,}1+(-1)\cdot0{,}9=-0{,}4\) €. Fair: \(a\cdot0{,}1=1\Rightarrow a=10\). Bei \(a=6\) ist der faire Einsatz \(E(\text{Auszahlung})=0{,}6\) €. Typischer Fehler: \(\tfrac25\cdot\tfrac25\) — als würde zurückgelegt.
Ansatz: Nach dem ersten Joker liegen noch vier Karten mit einem Joker da.Die 2. Stufe ist bedingt: \(P_{J_1}(J_2)=\tfrac14\).
Hilfe: Fair heißt \(E(\text{Auszahlung})=\text{Einsatz}\).
A6
Spiel und Erwartungswert
AFB II

Bestimme für jedes Spiel \(E(G)\) in Euro und verbinde.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Kurzweg: \(E(G)=E(\text{Auszahlung})-\text{Einsatz}\), z. B. \(0{,}8-1=-0{,}2\). Ausführlich über die Werte von \(G\): \(3\cdot0{,}2+(-1)\cdot0{,}8=-0{,}2\). Wer beide Wege mischt (\(3\cdot0{,}2-1\)), zieht den Einsatz zweimal ab.
Ansatz: Rechne zuerst die mittlere Auszahlung.Dann ziehst du den Einsatz einmal ab.
Hilfe: Spiel 4: \(4\cdot0{,}5=2\), minus 3.
A7
Ein Spiel fair machen
AFB II

Beim Sponsorenlauf-Fest soll ein Spiel mit unbekannter Auszahlung \(a\) fair werden. Plane die Schritte in der richtigen Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Reingewinn \(G\) für jeden Ausgang als Term notieren, z. B. \(a-1\) und \(-1\)
2Wahrscheinlichkeiten der Ausgänge bestimmen
3\(E(G)\) als Term in \(a\) aufstellen
4\(E(G)=0\) setzen und nach \(a\) auflösen
5Kontrolle: \(E(\text{Auszahlung})=\text{Einsatz}\)?
Häufig wird \(G\) vorschnell als \(a\) statt \(a-1\) notiert — dann fehlt der Einsatz in der Gleichung. Die Kontrolle am Ende deckt das auf.
Frage: Was muss feststehen, bevor du \(E(G)\) aufstellen kannst?Werte und Wahrscheinlichkeiten von \(G\).
Hilfe: Werte — Wahrscheinlichkeiten — Term — Gleichung — Kontrolle.
A8
Darts am Schulfest
AFB III

Ein Dartwurf trifft das Zentrum mit 0,05 (Auszahlung \(a\) Euro) und den inneren Ring mit 0,2 (Auszahlung 2 €); sonst gibt es nichts. Der Einsatz beträgt 1,50 €. Der Stand will pro Wurf im Mittel 0,30 € einnehmen. Ermittle \(a\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Aus Sicht des Spielers muss \(E(G)=-0{,}30\) gelten, also \(E(\text{Auszahlung})=1{,}50-0{,}30=1{,}20\): \(0{,}05a+0{,}4=1{,}2\Rightarrow a=16\) €. Typischer Fehler: \(E(G)=+0{,}30\) ansetzen — dann würde der Stand pro Wurf 0,30 € verlieren (\(a=28\)).
Ansatz: Was der Stand einnimmt, verliert der Spieler im Mittel.Also \(E(G)=-0{,}30\) €.
Hilfe: \(0{,}05a+2\cdot0{,}2-1{,}5=-0{,}3\).
A9
Fehlersuche: Tetraeder-Spiel
AFB III

Ein Tetraeder mit den Zahlen 1 bis 4 wird zweimal geworfen. Augensumme 8 bringt 20 €, Augensumme 7 bringt 5 €, sonst gibt es nichts. Der Einsatz beträgt 2 €. Überprüfe die Rechnung — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 4 ist der häufigste Fehler überhaupt: mit Auszahlungen rechnen und das Ergebnis wie \(E(G)\) deuten. Zeile 2 vergisst, dass geordnete Paare zählen — wie in 2.2.1.
Strategie: Stelle die Verteilung von \(G\) selbst auf.Dann ist jeder Fehler eine Abweichung von deiner Verteilung.
Hilfe: \(E(\text{Auszahlung})=\tfrac{20}{16}+\tfrac{10}{16}=1{,}875\).
A10
Trickaufgabe — die Werbung und die Mathematik
AFB III

Schätze für jedes Angebot (Einsatz jeweils angegeben) ab, wie günstig es für den Spieler ist.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = deutlich ungünstig (E(G) ≤ −0,50 €), 2 = leicht ungünstig, 3 = fair, 4 = leicht günstig, 5 = deutlich günstig (E(G) ≥ 0,50 €). Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = deutlich ungünstig (E(G) ≤ −0,50 €)5 = deutlich günstig (E(G) ≥ 0,50 €)
„Hauptgewinn 1000 €!“ — Chance \(\tfrac1{5000}\), Einsatz 1 €
„Jedes zweite Los gewinnt!“ — Auszahlung 1,50 €, Einsatz 1 €
Auszahlung 3 € mit \(\tfrac13\), Einsatz 1 €
„Nur jedes zehnte Los gewinnt“ — dann aber 12 €, Einsatz 1 €
Auszahlung 5 € mit \(0{,}5\), Einsatz 2 €
Die Falle: sich von Schlagworten leiten lassen. „Jedes zweite Los gewinnt“ klingt großzügig, ergibt aber \(0{,}75-1=-0{,}25\) €; „nur jedes zehnte“ klingt schlecht, ergibt aber \(1{,}2-1=+0{,}2\) €. Der Hauptgewinn: \(0{,}2-1=-0{,}8\) €. Außerdem \(1-1=0\) und \(2{,}5-2=0{,}5\) €.
Ansatz: Übersetze jede Werbung in „Auszahlung mal Wahrscheinlichkeit“.Erst dann mit dem Einsatz vergleichen — nicht vorher urteilen.
Hilfe: „Jedes zweite“: \(1{,}5\cdot0{,}5=0{,}75\).