Gewinn = Auszahlung − Einsatz
Ob ein Spiel fair ist, entscheidet der Erwartungswert des Reingewinns \(G\) des Spielers.
- Reingewinn:\(G=\text{Auszahlung}-\text{Einsatz}\), Verlust als negative Zahl.
- Fair:\(E(G)=0\) — auf lange Sicht gewinnt keine Seite.
- Günstig:\(E(G)>0\) für den Spieler; ungünstig: \(E(G)<0\).
Lies die Spielregel, tippe dein Urteil und prüfe dann. Erst schätzen, dann rechnen — wie gut ist dein Bauchgefühl?
Halte fest: Das Bauchgefühl täuscht oft — hohe Auszahlungen wirken verlockend, entscheidend ist aber das Produkt aus Auszahlung und Wahrscheinlichkeit, verglichen mit dem Einsatz.
Ein Spiel fair machen
Zwei Würfel, bei einem Pasch werden \(a\) Euro ausgezahlt, der Einsatz ist 1 €. Wie groß muss \(a\) sein?
Herleitung:
- Kontrolle:\(E(\text{Auszahlung})=6\cdot\tfrac16=1\) € — genau der Einsatz.
- Stellschrauben:Einsatz, Auszahlung oder Gewinnwahrscheinlichkeit verändern.
Faires Spiel: \(E(G)=0\), gleichbedeutend mit \(E(\text{Auszahlung})=\text{Einsatz}\)
Allgemeine Hinweise
Einsatz auch beim Gewinnen
Wer 6 € ausgezahlt bekommt und 1 € gesetzt hat, gewinnt nur 5 €. Mit Auszahlungen rechnen und am Ende den Einsatz abziehen — oder gleich mit \(G\).
Fair heißt nicht: niemand verliert
Einzelne Spieler gewinnen oder verlieren sehr wohl. Nur im Mittel über viele Spiele gleicht es sich aus.
Unbekannte Größe
Gesuchte Auszahlung oder Einsatz als Variable ansetzen und \(E(G)=0\) nach ihr auflösen.