Entenangeln beim Schulfest
AFB I–IIDie Klasse 10b bietet beim Schulfest ein Entenangeln an. In einem Becken schwimmen 40 Plastikenten: 4 haben einen roten Punkt, 10 einen blauen, die übrigen keinen Punkt. Für einen Einsatz von 1 € angelt man eine Ente, die danach zurück ins Becken kommt.
Bei einem roten Punkt werden 5 € ausgezahlt, bei einem blauen Punkt 1 €, sonst nichts. \(G\) ist der Reingewinn des Spielers in Euro.
- Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(G\) auf.
- Berechnen Sie \(E(G)\).
- Interpretieren Sie das Ergebnis aus Sicht der Klasse, die mit etwa 300 Spielen rechnet.
- Bestimmen Sie, wie hoch die Auszahlung für einen roten Punkt sein müsste, damit das Spiel fair ist.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
| \(g_i\) in € | 4 | 0 | \(-1\) |
|---|---|---|---|
| \(P(G=g_i)\) | 0,10 | 0,25 | 0,65 |
\(\tfrac4{40}=0{,}1\), \(\tfrac{10}{40}=0{,}25\), \(\tfrac{26}{40}=0{,}65\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(E(G)=4\cdot0{,}1+0\cdot0{,}25+(-1)\cdot0{,}65=-0{,}25\) €.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Auf lange Sicht verliert ein Spieler pro Spiel durchschnittlich 25 Cent; die Klasse nimmt also im Mittel 0,25 € pro Spiel ein. Bei 300 Spielen kann sie mit etwa \(300\cdot0{,}25=75\) € Überschuss rechnen — sicher ist dieser Betrag nicht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(E(G)=(a-1)\cdot0{,}1+0\cdot0{,}25+(-1)\cdot0{,}65=0{,}1a-0{,}75=0\Rightarrow a=7{,}50\) €.
Kontrolle: \(E(\text{Auszahlung})=7{,}5\cdot0{,}1+1\cdot0{,}25=1\) € = Einsatz.
Asse ziehen
AFB II–IIIAn einem anderen Stand liegen zehn verdeckte Karten, darunter drei Asse. Ein Spieler zahlt 1 € Einsatz und deckt nacheinander zwei Karten auf (ohne Zurücklegen). Bei zwei Assen erhält er \(a\) Euro, bei genau einem Ass 0,50 €, sonst nichts.
Der Stand hat zunächst \(a=10\) festgelegt. Das Baumdiagramm ist nur teilweise beschriftet.
- Ermitteln Sie die fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baum und die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Asse.
- Zeigen Sie, dass für \(a=10\) gilt: \(E(G)=-0{,}10\) €.
- Leiten Sie her, bei welcher Auszahlung \(a\) das Spiel fair ist.
- Ein Mitschüler schlägt vor: „Wir lassen \(a=10\), zahlen aber bei genau einem Ass den ganzen Einsatz von 1 € zurück — dann ist das Spiel fair.“ Beurteilen Sie den Vorschlag, auch im Hinblick auf das Ziel des Standes, Geld für die Klassenkasse einzunehmen.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P(\overline A)=0{,}7\); \(P_A(\overline A)=\tfrac79\); \(P_{\overline A}(A)=\tfrac39\).
\(P(2\text{ Asse})=0{,}3\cdot\tfrac29=\tfrac1{15}\); \(P(1\text{ Ass})=0{,}3\cdot\tfrac79+0{,}7\cdot\tfrac39=\tfrac7{15}\); \(P(0\text{ Asse})=0{,}7\cdot\tfrac69=\tfrac7{15}\). Kontrolle: Summe 1.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(G\in\{9;\ -0{,}5;\ -1\}\): \(E(G)=9\cdot\tfrac1{15}-0{,}5\cdot\tfrac7{15}-1\cdot\tfrac7{15}=\tfrac{9-3{,}5-7}{15}=-\tfrac{1{,}5}{15}=-0{,}10\) €.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(E(G)=(a-1)\cdot\tfrac1{15}+(-0{,}5)\cdot\tfrac7{15}+(-1)\cdot\tfrac7{15}=\tfrac{a-11{,}5}{15}=0\Rightarrow a=11{,}50\) €.
Kontrolle: \(E(\text{Auszahlung})=11{,}5\cdot\tfrac1{15}+0{,}5\cdot\tfrac7{15}=\tfrac{15}{15}=1\) €.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Mit dem Vorschlag: \(E(G)=9\cdot\tfrac1{15}+0\cdot\tfrac7{15}-1\cdot\tfrac7{15}=\tfrac2{15}\approx+0{,}13\) €. Das Spiel wäre nicht fair, sondern für den Spieler günstig; der Stand würde auf lange Sicht pro Spiel etwa 13 Cent verlieren.
Der Vorschlag ist also mathematisch falsch. Außerdem will ein Stand am Schulfest Geld einnehmen — dafür braucht er ein leicht ungünstiges Spiel wie mit \(a=10\) (\(E(G)=-0{,}10\) €). Ein faires Spiel (\(a=11{,}50\) €) brächte im Mittel nichts ein. Vertretbar ist die Position, \(a=10\) beizubehalten, weil die Einnahmen einem guten Zweck dienen und der Verlust pro Spiel gering ist.