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Übungen: Passt die Bernoulli-Kette?

Zwei Ergebnisse, feste Länge, gleiches p — erst prüfen, dann rechnen.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Die Prüffragen
AFB I

Bevor du mit der Binomialverteilung rechnest, prüfst du, ob eine Bernoulli-Kette vorliegt. Nenne alle Bedingungen, die dafür erfüllt sein müssen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Häufige Verwechslung: „zwei Ergebnisse“ heißt nicht „zwei gleich wahrscheinliche Ergebnisse“. \(p\) darf jeden Wert zwischen 0 und 1 haben, und auch \(n=3\) ist eine zulässige Kettenlänge.
Frage: Was muss für jede einzelne Stufe gelten, was für die Kette als Ganzes?Einzeln: zwei Ergebnisse, gleiches \(p\). Ganzes: feste Länge.
Hilfe: Es sind genau drei Bedingungen.
A2
Stimmt's? — Modell oder nicht
AFB I

Fünf Behauptungen darüber, wann eine Bernoulli-Kette vorliegt. Beurteile jede kurz.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Die Stolperstelle ist die zweite Aussage: Mehr als zwei Ergebnisse sind kein Ausschlussgrund — erst die Festlegung „Treffer = …“ macht aus dem Experiment ein Bernoulli-Experiment.
Frage: Welche der drei Prüffragen ist jeweils betroffen?Ordne jede Aussage einer Bedingung zu.
Hilfe: „Bis zum ersten Gewinn“ verletzt immer die feste Länge.
A3
Lückentext: die Näherung
AFB I

Beschreibe mit Fachbegriffen, wann Ziehen ohne Zurücklegen trotzdem mit der Binomialverteilung modelliert werden darf — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Beim Ziehen Zurücklegen ändert sich \(p\) nach jedem Zug. Ist die sehr groß gegenüber der , ändert sich \(p\) kaum; die Bernoulli-Kette ist dann eine gute . In der Begründung sagt man ausdrücklich, dass die Bedingung „gleichbleibendes \(p\)“ nur erfüllt ist.

„mit“ bleibt übrig: Mit Zurücklegen ist das Modell exakt, dafür braucht man keine Näherung. Viele setzen „mit“ in die erste Lücke und verpassen damit den Grund, warum überhaupt genähert wird.
Idee: Warum ändert sich \(p\) überhaupt?Weil gezogene Elemente fehlen.
Hilfe: Groß muss die Gesamtheit sein, klein die Stichprobe.
A4
Pralinen ohne Zurücklegen
AFB II

In einer Schachtel liegen 15 Pralinen, 5 davon mit Nuss. Du nimmst nacheinander 3 Pralinen, ohne hinzusehen. Berechne die exakte Wahrscheinlichkeit, dass alle drei eine Nuss enthalten (auf vier Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Exakt: \(\tfrac5{15}\cdot\tfrac4{14}\cdot\tfrac3{13}=\tfrac{60}{2730}\approx0{,}0220\). Der typische Fehler ist das Binomialmodell \(\left(\tfrac13\right)^3\approx0{,}0370\) — bei nur 15 Pralinen liegt es um über 60 % daneben.
Ansatz: Nach jeder Praline mit Nuss ist eine weniger in der Schachtel.Zähler und Nenner sinken beide um 1.
Rechnung: Pfadregel mit drei veränderlichen Brüchen.
A5
Welche Bedingung scheitert?
AFB II

Keine der Situationen ist eine Bernoulli-Kette. Ordne jede Situation der verletzten Bedingung zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1nicht zwei Ergebnisse
2n nicht fest
3p nicht gleich
Die Regen-Karte wird oft zu „zwei Ergebnisse“ gelegt, weil es nur Regen / kein Regen gibt. Das stimmt — aber die Tage hängen voneinander ab, also ist \(p\) nicht in jeder Stufe gleich.
Ansatz: Gehe die drei Prüffragen für jede Karte der Reihe nach durch.Die erste Frage, die mit „nein“ beantwortet wird, bestimmt den Korb.
Hilfe: „bis …“ deutet auf eine offene Länge hin, „nach jedem …“ auf ein veränderliches \(p\).
A6
Große gegen kleine Gesamtheit
AFB II Mix

Es werden 3 Lose ohne Zurücklegen gezogen; Treffer ist ein Gewinnlos. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für drei Gewinne in beiden Losbuden und im Modell (auf vier Nachkommastellen).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. exakt: 2000 Lose, davon 400 Gewinne
  2. exakt: 20 Lose, davon 4 Gewinne
  3. Modell: Bernoulli-Kette mit \(p=0{,}2\)
Beide Buden haben 20 % Gewinne, aber nur bei 2000 Losen trifft das Modell (\(0{,}00795\) gegenüber \(0{,}008\)). Bei 20 Losen ist die exakte Wahrscheinlichkeit \(\tfrac4{20}\cdot\tfrac3{19}\cdot\tfrac2{18}\approx0{,}0035\) — weniger als halb so groß. Nicht der Anteil, sondern die Größe der Gesamtheit entscheidet.
Ansatz: Pfadregel mit sinkenden Zählern und Nennern.Beim Modell bleibt jeder Faktor \(0{,}2\).
Hilfe: \(\tfrac{400}{2000}\cdot\tfrac{399}{1999}\cdot\tfrac{398}{1998}\).
A7
Situation und Modell
AFB II Mix

Fünf Situationen, fünf Modellaussagen. Ordne jeder Situation die passende Aussage zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Beim Würfel sind die Primzahlen 2, 3, 5 — also \(p=\tfrac36=0{,}5\). Ein häufiger Fehler ist, die 1 mitzuzählen. Bei der Wahlumfrage ist \(40\ll50\,000\), daher „näherungsweise“; bei 3 aus 10 Karten ist die Stichprobe viel zu groß.
Ansatz: Prüfe zuerst die drei Bedingungen, dann bestimme \(n\) und \(p\).Genähert wird nur, wenn ohne Zurücklegen aus großer Gesamtheit gezogen wird.
Hilfe: Primzahlen bis 6: 2, 3, 5.
A8
Eine Modellwahl begründen
AFB III

Aus 8000 LED-Leuchten einer Lieferung werden 60 zufällig entnommen und geprüft; erfahrungsgemäß sind 1,5 % defekt. Entwickle eine vollständige Begründung, indem du die Schritte ordnest.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Treffer festlegen: Leuchte ist defekt; sonst Niete
2Länge: \(n=60\) entnommene Leuchten, vorher festgelegt
3Annahme: Jede Leuchte ist mit \(p=0{,}015\) defekt
4Ohne Zurücklegen, aber \(60\) klein gegenüber \(8000\) — \(p\) bleibt fast gleich
5Folgerung: \(X\) ist näherungsweise \(B(60;\,0{,}015)\)-verteilt
Oft wird das „näherungsweise“ vergessen oder gleich an den Anfang gesetzt. Die Bewertung „ohne Zurücklegen“ gehört ans Ende der Prüffragen, weil man erst wissen muss, was \(n\) und \(p\) sind, bevor man sie mit der Gesamtheit vergleicht.
Frage: Was muss feststehen, bevor du über die Näherung reden kannst?Treffer, \(n\) und \(p\).
Hilfe: Reihenfolge der Prüffragen: zwei Ergebnisse — feste Länge — gleiches \(p\) — Folgerung.
A9
Fehlersuche: Interview-Auslosung
AFB III

In einer Klasse mit 28 Lernenden tragen 7 eine Brille. Für ein Interview werden 4 Personen ausgelost. Überprüfe die Argumentation — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die Zeilen 3, 4 und 6 bauen aufeinander auf: Wer ein konstantes \(p\) annimmt, hält das Modell für genau und übersieht die große relative Abweichung. Absolute Zahlen wie „0,002 Unterschied“ wirken klein — entscheidend ist das Verhältnis.
Strategie: Vergleiche Stichprobe und Gesamtheit: Wie viel Prozent werden gezogen?Rechne danach exakt und im Modell und vergleiche die Ergebnisse.
Hilfe: \(\tfrac{0{,}0039}{0{,}0017}\approx2{,}3\).
A10
Trickaufgabe — nicht die Größe zählt
AFB III

Wie gut passt jeweils die Bernoulli-Kette? Schätze ab, wie groß der gezogene Anteil der Gesamtheit ist — oder ob das Modell exakt gilt.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = exakt (mit Zurücklegen), 2 = unter 1 %, 3 = 1 % bis 5 %, 4 = 5 % bis 20 %, 5 = über 20 %. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = exakt (mit Zurücklegen)5 = über 20 %
50 Züge mit Zurücklegen aus einer Urne mit 60 Kugeln
5 Äpfel aus einer Kiste mit 1000 Äpfeln
40 Bauteile aus einer Lieferung von 1200
12 Personen aus einem Verein mit 150 Mitgliedern
300 Äpfel aus einer Ladung von 1000 Äpfeln
Zwei Fallen: „300 Äpfel“ klingt nach großer Gesamtheit, ist aber 30 % der Ladung — das Modell wird ungenau. Und 50 aus 60 wirkt riesig, ist aber exakt, weil zurückgelegt wird. Anteile: \(0{,}5\,\%\); \(3{,}3\,\%\); \(8\,\%\); \(30\,\%\).
Ansatz: Teile die Stichprobe durch die Gesamtheit.Nur dieses Verhältnis entscheidet über die Güte der Näherung.
Hilfe: Achte zuerst auf „mit Zurücklegen“ — dann ist die Frage schon beantwortet.