Drei Prüffragen
Bevor man mit der Binomialverteilung rechnet, prüft man, ob die Situation wirklich eine Bernoulli-Kette ist.
- Zwei Ergebnisse?Lässt sich jede Durchführung als Treffer oder Niete auswerten?
- Feste Länge?Steht die Anzahl \(n\) der Durchführungen vorher fest?
- p gleich?Bleibt \(p\) in jeder Stufe gleich, unabhängig von den vorigen Ergebnissen?
Sortiere jede Situation in ein Fach: Karte ziehen oder ein Fach anklicken, mit der Tastatur die Tasten 1, 2 und 3. Wenn alle Karten liegen, prüfe.
Halte fest: Ziehen ohne Zurücklegen ist keine Bernoulli-Kette. Ist die Gesamtheit aber sehr groß gegenüber der Stichprobe, ändert sich \(p\) kaum — dann ist das Modell eine gute Näherung.
Ohne Zurücklegen: Näherung
Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich \(p\) nach jedem Zug. Wie stark, hängt von der Größe der Gesamtheit ab.
- Große Gesamtheit:30 defekte unter 1000 Lampen, 2 ziehen: exakt \(\tfrac{30}{1000}\cdot\tfrac{29}{999}\approx0{,}00087\), Modell \(0{,}03^2=0{,}0009\).
- Kleine Gesamtheit:12 Mädchen unter 26 Personen, 2 losen: exakt \(\tfrac{12}{26}\cdot\tfrac{11}{25}\approx0{,}203\), Modell \(\left(\tfrac{12}{26}\right)^2\approx0{,}213\).
- Faustregel:Die Stichprobe ist klein gegenüber der Gesamtheit \(\Rightarrow\) Bernoulli-Kette als Näherung.
- Begründen:Im Sachkontext immer sagen, welche Bedingung erfüllt ist und welche nur näherungsweise.
Modell Bernoulli-Kette: zwei Ergebnisse, feste Länge \(n\), gleichbleibendes \(p\) in unabhängigen Stufen.
Allgemeine Hinweise
„Bis zum ersten Treffer“
Wird gewürfelt, bis eine Sechs fällt, steht \(n\) nicht fest — keine Bernoulli-Kette.
Modell heißt Annahme
„Wir nehmen an, dass die Trefferquote bei jedem Wurf 80 % beträgt“ — solche Annahmen gehören in die Begründung.
Nicht die Augenzahl zählen
Wer die Augensumme notiert, hat mehr als zwei Ergebnisse. Erst „Treffer = Sechs“ macht daraus eine Bernoulli-Kette.