Fahrradschläuche im Wareneingang
AFB I–IIEin Fahrradhändler erhält eine Lieferung von 1500 Fahrradschläuchen. Aus Erfahrung weiß er, dass 4 % der Schläuche einen Ventilfehler haben; in dieser Lieferung sind es genau 60 Schläuche. Im Wareneingang werden 25 Schläuche zufällig und ohne Zurücklegen entnommen und geprüft. \(X\) sei die Anzahl der fehlerhaften Schläuche in der Stichprobe.
Die Abbildung zeigt die ersten beiden Stufen des zugehörigen Baumdiagramms (\(F\): Schlauch fehlerhaft).
- Nennen Sie die drei Bedingungen, unter denen \(X\) binomialverteilt ist.
- Erläutern Sie mithilfe der Abbildung, inwiefern die Entnahme nur näherungsweise eine Bernoulli-Kette ist.
- Modellieren Sie \(X\) als binomialverteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass kein Schlauch bzw. höchstens zwei Schläuche fehlerhaft sind.
- Die exakte Wahrscheinlichkeit, dass kein Schlauch fehlerhaft ist, beträgt \(\tfrac{1440}{1500}\cdot\tfrac{1439}{1499}\cdot\ldots\cdot\tfrac{1416}{1476}\approx0{,}357\). Vergleichen Sie diesen Wert mit dem Ergebnis aus c) und ziehen Sie eine Schlussfolgerung für die Modellwahl.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Jede Entnahme hat genau zwei Ergebnisse (fehlerhaft / nicht fehlerhaft); die Anzahl \(n=25\) der Entnahmen steht vorher fest; die Wahrscheinlichkeit \(p\) für einen fehlerhaften Schlauch ist bei jeder Entnahme gleich, unabhängig von den vorigen Ergebnissen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Zwei Ergebnisse und feste Länge sind erfüllt. Weil ohne Zurücklegen gezogen wird, ändert sich \(p\): von \(0{,}04\) auf \(\tfrac{59}{1499}\approx0{,}0394\) bzw. \(\tfrac{60}{1499}\approx0{,}0400\). Die Änderung ist sehr klein, da 25 Schläuche weniger als 2 % der Lieferung sind. Die Bedingung „gleiches \(p\)“ ist daher nur näherungsweise erfüllt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(P(X=0)=0{,}96^{25}\approx0{,}360\) (CAS: binomPdf(25,0.04,0); GTR: Bpd).
\(P(X\le2)\approx0{,}924\) (CAS: binomCdf(25,0.04,0,2); GTR: Bcd mit Lower 0, Upper 2).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Modell \(0{,}360\), exakt \(0{,}357\): absolute Abweichung etwa \(0{,}003\), relativ unter 1 %.
Die Binomialverteilung ist hier eine sehr gute Näherung und darf verwendet werden; der Rechenaufwand sinkt erheblich.
Telefonumfrage im Schichtbetrieb
AFB II–IIIEin Meinungsforschungsinstitut führt eine Telefonumfrage durch. Jede Interviewerin und jeder Interviewer führt pro Schicht 40 Anrufe durch; gezählt wird, wie viele Angerufene an der Umfrage teilnehmen. Die Tabelle zeigt die Auswertung einer Testwoche.
| Uhrzeit | Anrufe | Teilnahmen |
|---|---|---|
| 9–11 Uhr | 120 | 30 |
| 11–13 Uhr | 120 | 24 |
| 13–15 Uhr | 120 | 18 |
| 15–17 Uhr | 120 | 36 |
Die Teamleitung modelliert die Anzahl \(X\) der Teilnahmen in einer Schicht mit einer Binomialverteilung, deren Trefferwahrscheinlichkeit dem Gesamtanteil der Testwoche entspricht. Sie kündigt an: „Wer in einer Schicht höchstens 5 Teilnahmen erreicht, bekommt ein Gespräch — das ist nach unserem Modell eine ungewöhnlich schlechte Leistung.“
- Bestimmen Sie die Trefferwahrscheinlichkeit des Modells der Teamleitung und den Erwartungswert von \(X\).
- Ermitteln Sie im Modell der Teamleitung die Wahrscheinlichkeit für höchstens 5 Teilnahmen.
- Untersuchen Sie anhand der Tabelle, ob die Bedingungen einer Bernoulli-Kette für eine Schicht erfüllt sind, und geben Sie die Wahrscheinlichkeit für höchstens 5 Teilnahmen in einer Schicht von 13 bis 15 Uhr an.
- Nehmen Sie Stellung zur Ankündigung der Teamleitung.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(p=\tfrac{30+24+18+36}{480}=\tfrac{108}{480}=0{,}225\).
\(\mu=40\cdot0{,}225=9\) Teilnahmen pro Schicht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(X\sim B(40;\,0{,}225)\): \(P(X\le5)\approx0{,}087\) (CAS: binomCdf(40,0.225,0,5); GTR: Bcd mit Lower 0, Upper 5).
Im Modell der Teamleitung tritt ein solches Ergebnis in knapp 9 % der Schichten auf.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Zwei Ergebnisse (Teilnahme / keine Teilnahme) und feste Länge \(n=40\) sind erfüllt. Die Teilnahmequote hängt aber deutlich von der Uhrzeit ab: 25 %, 20 %, 15 %, 30 %. Über den Tag ist \(p\) also nicht gleich; innerhalb einer Schicht ist ein konstantes \(p\) eine vertretbare Annahme.
Mittagsschicht: \(p=\tfrac{18}{120}=0{,}15\), \(\mu=6\); \(P(X\le5)\approx0{,}433\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Ankündigung ist nicht angemessen. Das Modell mit \(p=0{,}225\) mischt Schichten mit sehr verschiedenen Teilnahmequoten. Für die Mittagsschicht sind höchstens 5 Teilnahmen mit etwa 43 % völlig gewöhnlich — dort liegt schon der Erwartungswert bei 6.
Wer mittags arbeitet, würde nach der Regel häufig zu Unrecht zum Gespräch gebeten. Faire Alternative: für jede Schicht ein eigenes \(p\) verwenden und erst Ergebnisse als auffällig werten, die unter diesem schichtbezogenen Modell selten sind. Auch dann bleibt zu bedenken, dass seltene Ergebnisse durch Zufall entstehen können.