Zufallsgröße, n und p: Übungen – Mathe Klasse 13

A1

Welche Zahl ist n, welche p?

AFB I

In einem Callcenter sind erfahrungsgemäß 18 % der Anrufe Beschwerden. Eine Mitarbeiterin nimmt an einem Vormittag 25 Anrufe entgegen; ein Gespräch dauert im Schnitt 4 Minuten. Das Callcenter hat 120 Mitarbeitende. \(X\) zählt die Beschwerden. Nenne alle richtigen Aussagen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

\(n\) ist die Anzahl der Durchführungen (hier: Anrufe), nicht die Größe des Betriebs. Zeiten, Preise oder Mitarbeiterzahlen sind keine Parameter. \(p\) wird immer als Dezimalzahl notiert: 18 % \(=0{,}18\).

Frage: Was wird wiederholt — und wie oft?Die Anzahl der Wiederholungen ist \(n\).

Hilfe: Eine Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen 0 und 1.

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen zur Zufallsgröße \(X\) und zur Schreibweise \(B(n;p;k)\). Beurteile jede kurz.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Der Wert \(0\) wird leicht vergessen: \(X\) zählt Treffer, und „kein Treffer“ ist ebenfalls ein möglicher Wert. Deshalb hat \(X\) immer \(n+1\) Werte.

Frage: Welche kleinste und welche größte Trefferzahl ist möglich?Daraus ergibt sich die Anzahl der Werte.

Hilfe: Bei \(B(n;p;k)\) steht zuerst die Länge, dann die Trefferwahrscheinlichkeit, zuletzt die Trefferzahl.

A3

Lückentext: überbuchter Flug

AFB I

Bei einer Airline erscheinen erfahrungsgemäß 8 % der Fluggäste nicht zum Abflug. Für einen Flug liegen 150 Buchungen vor; das Flugzeug hat 180 Sitze. Beschreibe das Modell — ein Baustein bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Gezählt wird, wie viele gebuchte Gäste nicht zum Abflug kommen. Als Treffer gilt deshalb . Die Länge der Kette ist , die Trefferwahrscheinlichkeit ist . Die Zufallsgröße \(X\) kann die Werte von 0 bis annehmen; man sagt, \(X\) ist .

\(n=180\) bleibt übrig: Die Sitzzahl ist eine Grenze des Flugzeugs, aber keine Durchführung. Wiederholt wird „ein gebuchter Gast erscheint oder nicht“ — und das 150-mal.

Idee: Was wird gezählt? Das legt den Treffer fest.Aus dem Treffer ergibt sich \(p\), aus der Zahl der Buchungen \(n\).

Hilfe: Die größte Trefferzahl ist \(n\) — wenn niemand erscheint.

A4

Alle zwölf treiben aus

AFB II

Von einer Sorte Tulpenzwiebeln treiben erfahrungsgemäß 85 % aus. Mila pflanzt 12 Zwiebeln; \(X\) ist die Anzahl der ausgetriebenen. Berechne \(P(X=12)\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Für 12 Treffer gibt es nur den Pfad \(TT\dots T\): \(P(X=12)=0{,}85^{12}\approx0{,}1422\). Wer \(12\cdot0{,}85\) rechnet, bekommt \(10{,}2\) — eine „Wahrscheinlichkeit“ über 1 zeigt sofort den Fehler.

Ansatz: Wie viele Pfade haben lauter Treffer?Genau einer — die Pfadregel genügt.

Rechnung: \(0{,}85\) zwölfmal mit sich selbst multiplizieren.

A5

n, p oder gar nichts?

AFB II

Die Karten stammen aus verschiedenen Aufgabentexten. Ordne jede Angabe ein.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1n

2p

3kein Parameter

Die Falle ist die Gesamtheit: 4000 Gäste pro Jahr sind nicht \(n\) — befragt werden nur 25. Die große Gesamtheit sorgt lediglich dafür, dass \(p\) beim Auswählen praktisch gleich bleibt.

Ansatz: Frage bei jeder Zahl: Wird hier etwas wiederholt, ist es ein Anteil — oder nur eine Begleitinformation?Nur Wiederholungen und Anteile gehen ins Modell ein.

Hilfe: „Jeder achte“ heißt \(p=0{,}125\).

A6

Rechenkette: Vogelstimmen-App

AFB II Mix

Eine App bestimmt Vogelarten anhand ihres Gesangs und liegt mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}7\) richtig. Jan nimmt 6 verschiedene Vögel auf; \(X\) zählt die richtig bestimmten, \(Y\) die falsch bestimmten. Bestimme Schritt für Schritt:

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Anzahl der möglichen Werte von \(X\)
\(P(X=6)\)
Trefferwahrscheinlichkeit von \(Y\)
\(P(Y=6)\)

\(X\in\{0,\dots,6\}\) hat 7 Werte. \(P(X=6)=0{,}7^6\approx0{,}1176\). \(Y=6-X\) zählt die Fehler und ist binomialverteilt mit \(n=6\), \(p=0{,}3\): \(P(Y=6)=0{,}3^6\approx0{,}0007\). Typischer Fehler: für \(Y\) weiter mit \(0{,}7\) rechnen.

Ansatz: \(X\) zählt Treffer — wie bei jeder Zufallsgröße aus 2.2 gehört zu jedem Wert eine Wahrscheinlichkeit.Für \(X=6\) und \(Y=6\) gibt es jeweils nur einen Pfad.

Hilfe: Für \(Y\) ist „falsch bestimmt“ der Treffer.

A7

Text und Parameter

AFB II

Ordne jedem Sachkontext die Parameter der Binomialverteilung zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Zeile 4 ist die Falle: Zählt man die falschen Antworten, ist „falsch“ der Treffer, also \(p=0{,}8\). Und bei den Linkshändern ist \(n=50\), nicht 900.

Ansatz: Suche zuerst den Treffer — was zählt die Zufallsgröße?Dann gehört zu \(p\) genau die Wahrscheinlichkeit dieses Treffers.

Hilfe: Raten bei 5 Antworten: \(p=\tfrac15\) für richtig.

A8

Vom Unwahrscheinlichen zum Wahrscheinlichen

AFB III

Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten und ordne sie aufsteigend (die kleinste oben). Alle lassen sich mit einem einzigen Pfad berechnen.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1\(P(Y=0)\), \(Y\) zählt Nieten, \(n=3\), \(p=0{,}3\)

2\(B(4;0{,}5;4)\)

3\(B(10;0{,}2;0)\)

4\(B(3;0{,}4;0)\)

5\(B(6;0{,}9;6)\)

Werte: \(0{,}3^3=0{,}027\) (\(Y=0\) heißt: lauter Treffer!), \(0{,}5^4=0{,}0625\), \(0{,}8^{10}\approx0{,}107\), \(0{,}6^3=0{,}216\), \(0{,}9^6\approx0{,}531\). Häufigster Fehler: bei \(k=0\) mit \(p\) statt mit \(1-p\) potenzieren.

Frage: Welcher Pfad gehört zu \(k=0\), welcher zu \(k=n\)?Bei \(k=0\) stehen nur Nieten auf dem Pfad, bei \(k=n\) nur Treffer.

Hilfe: \(B(10;0{,}2;0)=0{,}8^{10}\), \(B(3;0{,}4;0)=0{,}6^3\).

A9

Fehlersuche: Hundefutter-Vertreter

AFB III

In einer Stadt mit 32 000 Haushalten besitzen 28 % einen Hund. Ein Vertreter besucht 15 zufällig ausgewählte Haushalte. Überprüfe die Notizen — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 5 ist die unauffälligste Falle: Wechselt man den Treffer, wechselt auch \(p\) zu \(1-p\) — \(n\) bleibt gleich.

Strategie: Formuliere \(X\) zuerst selbst vollständig.Dann lassen sich \(n\) und \(p\) an deiner Formulierung ablesen.

Hilfe: 72 % der Haushalte haben keinen Hund.

A10

Trickaufgabe — die Gesamtheit ist nicht n

AFB III

Vier Situationen, fünf Fragen. Schätze jede Wahrscheinlichkeit ab — Achtung bei der Wahl von \(n\) und \(p\).

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 0,01, 2 = 0,01 bis 0,1, 3 = 0,1 bis 0,3, 4 = 0,3 bis 0,6, 5 = über 0,6. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = unter 0,015 = über 0,6

Eine Imkerin hat 400 Bienenvölker, 3 % sind krank. Sie prüft 10 davon: kein krankes Volk.

Dieselbe Imkerin: alle 10 geprüften Völker sind krank.

Eine Bogenschützin trifft die Mitte mit \(0{,}45\); 5 Pfeile, alle in der Mitte.

Online-Umfrage, 60 % stimmen zu; 3 Befragte stimmen alle zu.

\(Y\) zählt Nieten bei \(n=4\), \(p=0{,}8\): \(P(Y=0)\)

Die Falle in Zeile 1: Mit \(n=400\) käme \(0{,}97^{400}\approx0{,}000005\) heraus. Geprüft werden aber nur 10 Völker: \(0{,}97^{10}\approx0{,}74\). Weiter: \(0{,}03^{10}\approx0\), \(0{,}45^5\approx0{,}018\), \(0{,}6^3=0{,}216\), \(P(Y=0)=0{,}8^4\approx0{,}41\).

Ansatz: Bestimme für jede Zeile zuerst \(n\), \(p\) und den Pfad.Alle Zeilen sind \(k=0\) oder \(k=n\) — also ein einziger Pfad.

Hilfe: \(0{,}97^{10}\): Zehn Faktoren knapp unter 1 ergeben noch deutlich mehr als \(0{,}6\).

Übungen: Zufallsgröße, n und p

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