Jahreskarten im Freizeitpark
AFB I–IIEin Freizeitpark hat an einem Sommertag 4 800 Besucherinnen und Besucher. Erfahrungsgemäß besitzen 15 % der Besucher eine Jahreskarte. Für eine Kundenbefragung werden am Eingang 25 zufällig ausgewählte Personen gefragt, ob sie eine Jahreskarte haben; jede Befragung dauert etwa 30 Sekunden.
- Geben Sie die Parameter \(n\) und \(p\) für eine geeignete Binomialverteilung an.
- Beschreiben Sie die Zufallsgröße \(X\) im Sachzusammenhang einschließlich ihrer möglichen Werte.
- Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass keine der befragten Personen eine Jahreskarte hat, und die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Person eine Jahreskarte hat.
- Die Zufallsgröße \(Y\) ist definiert durch \(Y=25-X\). Erläutern Sie, was \(Y\) im Sachzusammenhang zählt und mit welchen Parametern \(Y\) binomialverteilt ist.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(n=25\) (Anzahl der befragten Personen), \(p=0{,}15\) (Anteil der Jahreskarten-Besitzer). Die 4 800 Besucher und die 30 Sekunden sind keine Parameter; die große Besucherzahl rechtfertigt nur, dass \(p\) bei der Auswahl praktisch konstant bleibt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(X\): Anzahl der Personen mit Jahreskarte unter den 25 befragten. \(X\) kann die Werte \(0,1,2,\dots,25\) annehmen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(P(X=0)=0{,}85^{25}\approx0{,}0172\).
\(P(X\ge1)=1-P(X=0)\approx1-0{,}0172=0{,}9828\).
Nur mit etwa 1,7 % hat niemand eine Jahreskarte; mit rund 98 % ist mindestens ein Jahreskarten-Besitzer unter den Befragten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(Y=25-X\) zählt die Befragten ohne Jahreskarte. Der Treffer ist nun „keine Jahreskarte“ mit der Wahrscheinlichkeit \(1-0{,}15=0{,}85\). \(Y\) ist binomialverteilt mit \(n=25\) und \(p=0{,}85\).
Terminausfälle in der Hausarztpraxis
AFB II–IIIIn einer Hausarztpraxis erscheinen erfahrungsgemäß 12 % der Patientinnen und Patienten nicht zu ihrem vereinbarten Termin. An einem Vormittag sind 16 Termine vergeben; in der Praxis arbeiten 3 Ärztinnen, ein Termin dauert 15 Minuten. Es wird angenommen, dass die Patienten unabhängig voneinander erscheinen.
Drei Auszubildende sollen die Situation mit einer Binomialverteilung beschreiben. Ihre Vorschläge zeigt die Tabelle.
| Vorschlag | Zufallsgröße | n | p |
|---|---|---|---|
| Anna | Anzahl der Ärztinnen, die Patienten behandeln | 3 | 0,12 |
| Ben | Anzahl der ausfallenden Termine | 16 | 12 |
| Cem | Anzahl der erscheinenden Patienten | 16 | 0,88 |
Weil freie Termine Geld kosten, überlegt die Praxisleitung, künftig 18 Termine für die 16 Behandlungsplätze eines Vormittags zu vergeben.
- Überprüfen Sie die drei Vorschläge der Auszubildenden.
- Bestimmen Sie für 16 vergebene Termine die Wahrscheinlichkeit, dass alle Patienten erscheinen, und die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Termin ausfällt.
- Bei 18 vergebenen Terminen sei \(Z\) die Anzahl der erscheinenden Patienten. Deuten Sie den Term \(B(18;0{,}88;17)+B(18;0{,}88;18)\) im Sachzusammenhang und gehen Sie dabei auch auf den Wert \(P(Z=18)\) ein.
- Die Praxisleitung argumentiert: „Bei 18 Terminen und 12 % Ausfall erscheinen ziemlich genau 16 Patienten — das passt perfekt.“ Beurteilen Sie diese Argumentation.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Anna: falsch. Wiederholt wird nicht „eine Ärztin behandelt“, sondern „ein Patient erscheint oder nicht“; die Zahl der Ärztinnen ist kein Parameter, \(n=3\) passt nicht.
Ben: Zufallsgröße und \(n=16\) sind richtig, aber \(p\) muss als Wahrscheinlichkeit \(0{,}12\) angegeben werden, nicht als 12.
Cem: richtig. Zählt man die erscheinenden Patienten, ist „erscheint“ der Treffer mit \(p=1-0{,}12=0{,}88\) bei \(n=16\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Mit Cems Modell \(X\sim B(16;0{,}88)\): \(P(X=16)=0{,}88^{16}\approx0{,}1293\).
\(P(\text{mindestens ein Ausfall})=1-0{,}88^{16}\approx0{,}8707\).
Nur an etwa 13 % der Vormittage erscheinen alle 16 Patienten; an rund 87 % fällt mindestens ein Termin aus.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Term ist \(P(Z=17)+P(Z=18)\): die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 16 Patienten erscheinen, also nicht alle einen Behandlungsplatz am Vormittag bekommen.
\(P(Z=18)=0{,}88^{18}\approx0{,}1002\): An etwa jedem zehnten Vormittag erscheinen sogar alle 18 Patienten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Argumentation ist nicht haltbar. Die 12 % sind eine Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Patienten, keine feste Quote: \(Z\) ist zufällig und kann jeden Wert von 0 bis 18 annehmen. Schon \(P(Z=18)\approx0{,}10\) zeigt, dass an etwa jedem zehnten Vormittag zwei Patienten zu viel da sind — zusammen mit \(Z=17\) ist das Überbuchungsrisiko noch größer.
Zudem ist die Unabhängigkeit fraglich (z. B. Glatteis oder Grippewelle betreffen viele Patienten gleichzeitig). Ob sich die Überbuchung lohnt, hängt davon ab, wie die Praxis Wartezeiten gegenüber leeren Terminen gewichtet; „perfekt passend“ ist sie in keinem Fall.