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Übungen: Die Bernoulli-Formel

Wie viele Pfade, wie wahrscheinlich ist einer — die Bernoulli-Formel Faktor für Faktor.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Welcher Term passt?
AFB I

\(X\) ist binomialverteilt mit \(n=7\) und \(p=0{,}2\). Gib alle Terme an, die \(P(X=3)\) ergeben.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\(0{,}2^3\cdot0{,}8^4\) ist nur ein Pfad — der Binomialkoeffizient fehlt. \(\binom74=\binom73=35\), deshalb passt auch der dritte Term. Bei \(0{,}8^3\cdot0{,}2^4\) sind Treffer und Nieten vertauscht, und bei \(0{,}8^3\) ergeben die Exponenten nur 6 statt 7.
Prüfliste: Anzahl der Pfade? \(p\) hoch Trefferzahl? \(1-p\) hoch Nietenzahl?Die Exponenten müssen zusammen \(n\) ergeben.
Hilfe: \(\binom73=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35\), \(0{,}2^3=0{,}008\), \(0{,}8^4=0{,}4096\).
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen zu Binomialkoeffizient und Bernoulli-Formel. Entscheide, ob sie stimmen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

\(\binom63\) wird oft mit \(6\) oder mit \(6\cdot3\) verwechselt. Tatsächlich zählt er, auf wie viele Arten man 3 der 6 Stufen für die Treffer auswählen kann: \(\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20\).
Frage: Wie viele Pfade gibt es ohne jeden Treffer?Nur einen: lauter Nieten.
Hilfe: Auf dem GTR: OPTN, F6, F3 (PROB), F3 (nCr), z. B. 6 nCr 3.
A3
Lückentext: die drei Faktoren
AFB I

Beschreibe die Bedeutung der Faktoren in \(P(X=k)=\binom nk\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\) — ein Baustein bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Der Binomialkoeffizient \(\binom nk\) gibt die mit genau \(k\) Treffern an. Der Faktor \(p^k\) steht für die , der Faktor \((1-p)^{n-k}\) für die . Alle diese Pfade sind gleich wahrscheinlich, weil sich nur die von \(T\) und \(N\) unterscheidet. Deshalb darf man, statt viele gleiche Summanden zu addieren, .

„Anzahl der Stufen“ bleibt übrig: Das ist \(n\) — und \(n\) ist gerade nicht die Anzahl der passenden Pfade. Wer \(\binom nk\) durch \(n\) ersetzt, zählt viel zu wenige Pfade.
Idee: Lies den Term von links nach rechts.Erst „wie viele Pfade“, dann „wie wahrscheinlich ist einer“.
Hilfe: Gleiche Summanden addieren = Anzahl mal Summand.
A4
Genau fünf Gipfel
AFB II

Eine Kletterin schafft eine schwierige Route bei einem Versuch mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}65\). An 8 verschiedenen Tagen versucht sie es je einmal (unabhängig). Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Route an genau 5 Tagen schafft.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(P(X=5)=\binom85\cdot0{,}65^5\cdot0{,}35^3=56\cdot0{,}1160\ldots\cdot0{,}0428\ldots\approx0{,}2786\). GTR: Bpd mit x = 5, Numtrial 8, p 0,65; CAS: binomPdf(8,0.65,5). Häufiger Fehler: \(0{,}35^5\cdot0{,}65^3\) — Treffer und Nieten vertauscht.
Ansatz: Lege \(n\), \(p\) und \(k\) fest und setze in die Bernoulli-Formel ein.Die Trefferzahl gehört in den Exponenten von \(p\).
Hilfe: \(n=8\), \(p=0{,}65\), \(k=5\), \(\binom85=56\).
A5
Pfade zählen, Pfad rechnen, alles zusammen
AFB II

Für \(n=5\), \(p=0{,}4\) und \(k=2\) stehen hier Zahlen und Terme durcheinander. Ordne jede Karte ein.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Anzahl der Pfade
2ein einzelner Pfad
3P(X = 2)
Zwischen \(0{,}03456\) und \(0{,}3456\) liegt genau der Faktor \(\binom52=10\). Wer den Binomialkoeffizienten vergisst, landet beim einzelnen Pfad statt bei \(P(X=2)\).
Ansatz: Rechne zuerst einen Pfad aus: \(0{,}16\cdot0{,}216\).Dann ist \(P(X=2)\) das Zehnfache davon.
Hilfe: \(P(TNTNN)\) ist ein Pfad mit zwei Treffern — also ein einzelner Pfad.
A6
Rechenkette: Brieftauben
AFB II

Eine Brieftaube findet nach einem Wettflug mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}85\) in ihren Schlag zurück. Ein Züchter lässt 6 Tauben auf (unabhängig). Bestimme Schritt für Schritt:

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. \(\binom64\)
  2. Wahrscheinlichkeit eines Pfades mit 4 Rückkehrern
  3. \(P(X=4)\)
  4. \(P(X=5)\)
Ein Pfad: \(0{,}85^4\cdot0{,}15^2\approx0{,}01175\), mal \(\binom64=15\) ergibt \(P(X=4)\approx0{,}1762\). Für \(X=5\): \(\binom65\cdot0{,}85^5\cdot0{,}15\approx0{,}3993\). Typischer Fehler: beim Pfad \(0{,}15^4\cdot0{,}85^2\) — dabei wäre die Rückkehr die Niete.
Ansatz: Erst zählen, dann einen Pfad rechnen, dann multiplizieren.Genau so ist die Bernoulli-Formel aufgebaut.
Hilfe: \(\binom64=\frac{6\cdot5}{2\cdot1}\), \(\binom65=6\).
A7
Term und Bedeutung
AFB II Mix

Mia beantwortet in einem Online-Quiz 12 Fragen; jede Frage kann sie unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}75\) richtig beantworten. Ordne jedem Term seine Bedeutung zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Der Unterschied zwischen Zeile 2 und 4 ist der Kern der Bernoulli-Formel: Ohne \(\binom{12}{9}\) ist eine feste Reihenfolge gemeint. \(1-0{,}75^{12}\) kennst du aus der Bernoulli-Kette: Gegenereignis zu „alle richtig“.
Ansatz: Steht ein Binomialkoeffizient davor? Dann sind alle Reihenfolgen gemeint.Ohne ihn beschreibt der Term genau einen Pfad.
Hilfe: \(0{,}25\) ist die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort.
A8
Die Formel herleiten
AFB III

Für eine Bernoulli-Kette mit \(n=5\) soll \(P(X=3)\) allgemein bestimmt werden. Leite die Formel her, indem du die Schritte ordnest.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Das Ereignis \(X=3\) als Menge von Pfaden beschreiben: \(TTTNN\), \(TTNTN\), …
2Einen dieser Pfade mit der Pfadregel berechnen: \(p^3\cdot(1-p)^2\)
3Begründen, dass jeder dieser Pfade dieselbe Wahrscheinlichkeit hat
4Summenregel: Summe gleicher Summanden = Anzahl · Pfadwahrscheinlichkeit
5Anzahl mit \(\binom53=10\) einsetzen: \(P(X=3)=10\cdot p^3(1-p)^2\)
Der entscheidende Zwischenschritt ist Schritt 3: Erst weil jeder Pfad dieselben Faktoren enthält (nur in anderer Reihenfolge), darf man die Summe als „Anzahl mal ein Pfad“ schreiben.
Frage: Warum darf man überhaupt multiplizieren statt addieren?Weil alle Summanden gleich sind — das muss vorher begründet sein.
Hilfe: Reihenfolge: Pfade — ein Pfad — alle gleich — Produkt — Anzahl.
A9
Fehlersuche: Instrumente im Kurs
AFB III

In einem Kurs mit 9 Lernenden wird angenommen, dass jede Person unabhängig mit \(0{,}3\) ein Musikinstrument spielt. Gesucht ist \(P(X=2)\). Überprüfe die Rechnung — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 2 entsteht, wenn man \(\binom92\) als \(9\cdot2\) liest. Der Binomialkoeffizient ist aber \(\frac{9!}{2!\cdot7!}\) — er zählt Auswahlen, keine Produkte.
Strategie: Rechne jede Zeile selbst nach.Prüfe besonders die Exponenten: Sie müssen zusammen 9 ergeben.
Hilfe: \(36\cdot0{,}0074\approx0{,}267\).
A10
Trickaufgabe — der beste Pfad ist nicht das beste Ergebnis
AFB III

Ein Lieferroboter erledigt eine Fahrt mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}8\) ohne Zwischenfall; betrachtet werden 10 Fahrten. Schätze jede Wahrscheinlichkeit ab.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 0,01, 2 = 0,01 bis 0,05, 3 = 0,05 bis 0,15, 4 = 0,15 bis 0,25, 5 = über 0,25. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = unter 0,015 = über 0,25
Der Pfad \(TTTTTTTTNN\)
Genau 5 Fahrten ohne Zwischenfall
Alle 10 Fahrten ohne Zwischenfall
Genau 7 Fahrten ohne Zwischenfall
Genau 8 Fahrten ohne Zwischenfall
Die Falle: \(TTTTTTTTTT\) ist der wahrscheinlichste Pfad, aber \(P(X=10)\approx0{,}107\) ist deutlich kleiner als \(P(X=8)\approx0{,}302\) — denn zu \(X=8\) gehören \(\binom{10}8=45\) Pfade. Ein einzelner davon hat nur \(\approx0{,}0067\). Außerdem: \(P(X=7)\approx0{,}201\), \(P(X=5)\approx0{,}026\).
Ansatz: Trenne „ein Pfad“ von „alle Pfade mit genau \(k\) Treffern“.Der Binomialkoeffizient kann einen kleinen Pfad zu einer großen Wahrscheinlichkeit machen.
Hilfe: \(\binom{10}{8}=45\), \(\binom{10}{7}=120\), \(\binom{10}{5}=252\).