Pfade mit genau k Treffern
Für \(P(X=k)\) braucht man alle Pfade des Baumdiagramms mit genau \(k\) Treffern. Man muss sie nicht einzeln zeichnen.
- Ein Pfad:Jeder Pfad mit \(k\) Treffern und \(n-k\) Nieten hat die Wahrscheinlichkeit \(p^k\cdot(1-p)^{n-k}\).
- Alle gleich:Nur die Reihenfolge von \(T\) und \(N\) unterscheidet sich — die Faktoren sind dieselben.
- Anzahl:Binomialkoeffizient \(\binom nk\): Auf so viele Arten kann man \(k\) der \(n\) Stufen für die Treffer auswählen.
Wähle eine Trefferzahl k. Die passenden Pfade leuchten auf. Lege sie mit „Pfade umlegen“ in die Säule rechts — nacheinander für alle k.
Halte fest: Die Säule für \(k\) besteht aus \(\binom nk\) gleich großen Stücken. Jedes Stück ist ein Pfad mit der Wahrscheinlichkeit \(p^k(1-p)^{n-k}\).
Die Formel
Am Beispiel \(n=4\), \(p=0{,}3\), \(k=2\):
Herleitung:Summenregel: alle Pfade mit genau zwei Treffern addieren.
Sechs gleiche Summanden, denn \(\binom42=6\).
Allgemein: Anzahl der Pfade mal Wahrscheinlichkeit eines Pfades.
- Beispiel:\(P(X=2)=6\cdot0{,}09\cdot0{,}49=0{,}2646\).
- Binomialkoeffizient:\(\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\); GTR: OPTN F6 F3 (PROB) F3 (nCr), z. B. 4 nCr 2 = 6.
- Sonderfälle:\(\binom n0=\binom nn=1\): nur ein Pfad ohne bzw. mit lauter Treffern.
Bernoulli-Formel: \(P(X=k)=B(n;p;k)=\binom nk\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\)
Allgemeine Hinweise
Faktoren lesen
\(\binom nk\): wie viele Pfade · \(p^k\): die \(k\) Treffer · \((1-p)^{n-k}\): die übrigen Nieten.
Exponenten prüfen
Die beiden Exponenten ergeben zusammen immer \(n\). \(0{,}3^2\cdot0{,}7^3\) passt nicht zu \(n=4\).
Binomialkoeffizient nicht vergessen
\(0{,}3^2\cdot0{,}7^2\) ist nur ein Pfad. Erst mal 6 ergibt „genau zwei Treffer“.