Blaue Augen bei Katzen
AFB I–IIBei einer Katzenrasse hat ein Kätzchen aufgrund der Vererbung mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}25\) blaue Augen, unabhängig von seinen Geschwistern. Eine Züchterin erwartet einen Wurf mit 5 Kätzchen. \(X\) bezeichnet die Anzahl der blauäugigen Kätzchen im Wurf.
- Erläutern Sie die Bedeutung der drei Faktoren im Term \(\binom52\cdot0{,}25^2\cdot0{,}75^3\) im Sachzusammenhang.
- Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei der fünf Kätzchen blaue Augen haben.
- Untersuchen Sie, ob genau ein oder genau zwei blauäugige Kätzchen wahrscheinlicher sind.
- Es gilt \(\binom52=\binom53\). Begründen Sie, warum trotzdem \(P(X=2)\neq P(X=3)\) ist.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\binom52=10\): Anzahl der Möglichkeiten, welche 2 der 5 Kätzchen die blauäugigen sind (Anzahl der Pfade mit genau 2 Treffern).
\(0{,}25^2\): Die beiden ausgewählten Kätzchen haben blaue Augen.
\(0{,}75^3\): Die übrigen drei Kätzchen haben keine blauen Augen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P(X=2)=10\cdot0{,}0625\cdot0{,}421875\approx0{,}2637\).
GTR: Bpd mit x = 2, Numtrial 5, p 0,25; CAS: binomPdf(5,0.25,2).
Mit etwa 26,4 % haben genau zwei Kätzchen blaue Augen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(P(X=1)=\binom51\cdot0{,}25\cdot0{,}75^4=5\cdot0{,}25\cdot0{,}3164\ldots\approx0{,}3955\).
Wegen \(0{,}3955>0{,}2637\) ist genau ein blauäugiges Kätzchen wahrscheinlicher als genau zwei.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Zwar gibt es für \(X=2\) und \(X=3\) gleich viele Pfade (je 10), aber ein einzelner Pfad hat unterschiedliche Wahrscheinlichkeit: \(0{,}25^2\cdot0{,}75^3\approx0{,}0264\) bzw. \(0{,}25^3\cdot0{,}75^2\approx0{,}0088\). Weil \(p=0{,}25\neq0{,}5\) ist, sind Treffer seltener als Nieten; mehr Treffer machen einen Pfad unwahrscheinlicher. Also \(P(X=3)\approx0{,}0879\lt P(X=2)\).
Escape-Room am Samstag
AFB II–IIIEin Escape-Room-Anbieter gibt an, dass erfahrungsgemäß 70 % der Teams den Raum innerhalb der vorgegebenen Stunde verlassen („Erfolg“). An einem Samstag spielen 8 Teams, die sich nicht kennen und unabhängig voneinander spielen. \(X\) sei die Anzahl der erfolgreichen Teams.
Die Tabelle zeigt einige Werte der Verteilung von \(X\) (auf vier Nachkommastellen gerundet).
| k | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| P(X = k) | 0,1361 | ? | 0,2965 | 0,1977 | ? |
Der Betreiber behauptet: „Am wahrscheinlichsten ist ein Samstag, an dem alle acht Teams es schaffen. Denn wenn jedes Team eher Erfolg hat, ist der Weg ‚Erfolg, Erfolg, …, Erfolg‘ der wahrscheinlichste.“
- Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 6 Teams erfolgreich sind, mithilfe der Bernoulli-Formel.
- Ermitteln Sie die beiden fehlenden Werte der Tabelle.
- Weisen Sie nach, dass jeder einzelne Pfad mit 8 Erfolgen wahrscheinlicher ist als jeder einzelne Pfad mit genau 4 Erfolgen, obwohl \(P(X=4)>P(X=8)\) gilt.
- Beurteilen Sie die Behauptung des Betreibers.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\binom86=28\).
\(P(X=6)=28\cdot0{,}7^6\cdot0{,}3^2=28\cdot0{,}117649\cdot0{,}09\approx0{,}2965\).
Das stimmt mit dem Tabellenwert überein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P(X=5)=\binom85\cdot0{,}7^5\cdot0{,}3^3=56\cdot0{,}16807\cdot0{,}027\approx0{,}2541\).
\(P(X=8)=0{,}7^8\approx0{,}0576\).
GTR: Bpd mit x = 5 bzw. 8, Numtrial 8, p 0,7; CAS: binomPdf(8,0.7,5) bzw. binomPdf(8,0.7,8).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ein Pfad mit 8 Erfolgen: \(0{,}7^8\approx0{,}0576\). Ein Pfad mit 4 Erfolgen: \(0{,}7^4\cdot0{,}3^4\approx0{,}0019\). Der Pfad mit lauter Erfolgen ist also rund 30-mal so wahrscheinlich.
Aber zu \(X=8\) gehört nur ein Pfad, zu \(X=4\) gehören \(\binom84=70\) Pfade: \(P(X=4)=70\cdot0{,}0019\ldots\approx0{,}1361>0{,}0576=P(X=8)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Behauptung ist falsch. Richtig ist nur, dass der einzelne Pfad „lauter Erfolge“ der wahrscheinlichste Pfad ist. Ein Samstag mit genau \(k\) Erfolgen umfasst aber \(\binom8k\) Pfade.
Laut Tabelle ist \(X=6\) mit \(\approx0{,}2965\) am wahrscheinlichsten, gefolgt von \(X=5\) (\(\approx0{,}2541\)); ein Samstag mit acht Erfolgen tritt nur mit etwa 5,8 % auf. Der Betreiber verwechselt die Wahrscheinlichkeit eines Pfades mit der Wahrscheinlichkeit einer Trefferzahl.