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Übungen: Prognosen für Anteile

Helmträger, Rücksendungen, Stichprobenplanung — zehn Übungen dazu, wie genau ein Anteil in der Stichprobe wird.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen von AFB I bis AFB III: Umgebungen für Anteile berechnen, vergleichen und den nötigen Stichprobenumfang bestimmen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen die gestuften Tipps.

A1
Streuung des Anteils
AFB I

70 % der Radfahrer tragen einen Helm. An einer Kreuzung werden 500 Radfahrer beobachtet. Berechnen Sie die Standardabweichung des Anteils \(h\) (vier Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(\sqrt{\tfrac{0{,}7\cdot0{,}3}{500}}=\sqrt{0{,}00042}\approx0{,}0205\). Wer \(\sqrt{500\cdot0{,}21}\approx10{,}25\) rechnet, erhält die Streuung der Anzahl, nicht des Anteils.
Ansatz: \(\sigma_h=\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\).
Weiter: Die Wurzel über den ganzen Bruch.
A2
Lückentext: vom Zählen zum Anteil
AFB I

Nennen Sie die fehlenden Begriffe — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die \(h=\tfrac Xn\) gibt den Trefferanteil der Stichprobe an. Man erhält ihre Umgebung, indem man das Prognoseintervall für \(X\) teilt. Die Mitte der Umgebung ist dann , die Streuung enthält \(n\) unter einer im Nenner. Mit wachsendem Stichprobenumfang wird die Umgebung .

„breiter“ bleibt übrig: Das gilt für das Intervall der Anzahl, nicht für den Anteil.
Ansatz: \(\tfrac{\mu}{n}=p\).
Weiter: \(\tfrac{\sigma}{n}=\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\).
A3
Stichprobenumfang und Genauigkeit
AFB I

Ordnen Sie jedem Stichprobenumfang die halbe Breite der 95 %-Umgebung für \(p=0{,}5\) zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Trick: \(1{,}96\cdot\tfrac{0{,}5}{\sqrt n}=\tfrac{0{,}98}{\sqrt n}\) — mit \(\sqrt n\) im Kopf ist die Zuordnung sofort klar.
Ansatz: Für \(p=0{,}5\) ist \(\sqrt{p(1-p)}=0{,}5\).
Weiter: Halbe Breite \(=\tfrac{0{,}98}{\sqrt n}\).
A4
Rechenkette: Rücksendungen
AFB II

Ein Onlinehändler hat eine Rücksendequote von 25 %. Eine Stichprobe umfasst 300 Bestellungen. Ermitteln Sie die 95 %-Umgebung für den Anteil der Rücksendungen.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. \(\sigma_h\)
  2. halbe Breite \(1{,}96\,\sigma_h\)
  3. untere Grenze
  4. obere Grenze
Die Umgebung \([0{,}201;\,0{,}299]\) ist knapp 10 Prozentpunkte breit — bei 300 Bestellungen kann der Anteil also recht deutlich schwanken.
Ansatz: \(\sqrt{0{,}25\cdot0{,}75:300}\).
Weiter: Grenzen: \(0{,}25\mp0{,}049\).
A5
Liegt h in der Umgebung?
AFB II

Für \(p=0{,}4\) und \(n=600\) ist die 95 %-Umgebung \([0{,}3608;\,0{,}4392]\). Ordnen Sie die Stichprobenanteile ein.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1in der Umgebung
2außerhalb
Knappe Fälle: 0,44 liegt knapp über 0,4392 und 0,36 knapp unter 0,3608 — beide außerhalb. Mit gerundeten Grenzen wäre man hier leicht getäuscht.
Ansatz: Vergleiche mit beiden Grenzen, nicht nur mit p.
Weiter: Auf die dritte Nachkommastelle achten.
A6
Nach Breite ordnen
AFB II

Vergleichen Sie die 95 %-Umgebungen für den Anteil und ordnen Sie sie von schmal nach breit.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1\(p=0{,}1,\ n=900\)
2\(p=0{,}5,\ n=900\)
3\(p=0{,}1,\ n=100\)
4\(p=0{,}3,\ n=100\)
5\(p=0{,}5,\ n=100\)
Halbe Breiten: 0,0196, 0,0327, 0,0588, 0,0898, 0,098. Der Umfang n wirkt stärker als p — aber bei gleichem n ist p = 0,5 am breitesten.
Ansatz: Halbe Breite \(1{,}96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\).
Weiter: \(p(1-p)\): 0,09, 0,21, 0,25.
A7
Aussagen zur Umgebung
AFB II

Beurteilen Sie die Aussagen über die 95 %-Umgebung für den Anteil.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die ganze Breite ist \(2\cdot1{,}96\,\sigma_h\). Am breitesten ist sie bei \(p=0{,}5\), weil \(p(1-p)\) dort maximal ist.
Ansatz: Unterscheide Anzahl und Anteil.
Weiter: Breite = 2 · halbe Breite.
A8
Fehlersuche: Umgebung für den Anteil
AFB III

Überprüfen Sie die Rechnung zu \(p=0{,}2,\ n=1600\) — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Häufig wird σ_h statt der halben Breite 1,96 · σ_h verwendet — die Umgebung wird dann nur etwa 68 % sicher.
Ansatz: Unterscheide σ_h und 1,96 · σ_h.
Weiter: n geht über die Wurzel ein.
A9
Trickaufgabe: wie viele Befragte?
AFB III

Ein Anteil von etwa 15 % soll so untersucht werden, dass die 95 %-Umgebung für \(h\) höchstens ± 2 Prozentpunkte breit ist. Bestimmen Sie den kleinsten Stichprobenumfang.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(1{,}96\sqrt{\tfrac{0{,}15\cdot0{,}85}{n}}\le0{,}02\iff n\ge\tfrac{1{,}96^2\cdot0{,}1275}{0{,}0004}\approx1224{,}5\). Aufrunden auf 1225 — abrunden würde die Genauigkeit knapp verfehlen.
Ansatz: Ungleichung nach n auflösen.
Weiter: Quadrieren: \(n\ge\tfrac{1{,}96^2\,p(1-p)}{0{,}02^2}\).
A10
Stimmt's? — Fünferserie
AFB III

Legen Sie für jede Aussage fest, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merksatz: Genauigkeit wächst nur mit der Wurzel aus n, und jede Umgebung bleibt eine Wahrscheinlichkeitsaussage.
Ansatz: Denke an \(\tfrac1{\sqrt n}\).
Weiter: Prüfe bei kleinen p auch die Laplace-Bedingung.