Prognosen für Anteile

Von der Anzahl zum Anteil

Oft interessiert nicht die Anzahl, sondern der Anteil. Dazu wird das Prognoseintervall durch \(n\) geteilt.

Relative Häufigkeit:\(h=\frac{X}{n}\) — der Anteil der Treffer in der Stichprobe.
Kenngrößen:\(\frac{\mu}{n}=p\) und \(\frac{\sigma}{n}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\).

Herleitung:

\(\mu-1{,}96\,\sigma\le X\le\mu+1{,}96\,\sigma\)

Start

95 %-Prognoseintervall für die Trefferzahl X.

\(\tfrac{\mu}{n}-1{,}96\,\tfrac{\sigma}{n}\le \tfrac{X}{n}\le\tfrac{\mu}{n}+1{,}96\,\tfrac{\sigma}{n}\)

| : n

Alle drei Teile durch n teilen — die Ungleichung bleibt richtig.

\(p-1{,}96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\le h\le p+1{,}96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\)

| einsetzen

μ : n = p und σ : n = √(n·p·(1−p)) : n = √(p·(1−p) : n).

Mehr Daten, engere Umgebung

Die Umgebung für den Anteil wird mit wachsendem \(n\) schmaler — Stichproben werden genauer.

Beispiel:\(p=0{,}3,\ n=500\): \(1{,}96\cdot\sqrt{\frac{0{,}3\cdot0{,}7}{500}}\approx0{,}040\), also \(h\in[0{,}260;\,0{,}340]\) mit etwa 95 %.
Genauigkeit:Die halbe Breite enthält \(\frac{1}{\sqrt n}\): vierfacher Umfang ergibt halbe Breite.

Setze die Umgebung aus Bausteinen zusammen: Baustein anklicken (oder Tab und Enter) oder in sein Feld ziehen, dann prüfen. Verändere danach n und die Sicherheit.

Sicherheit

Stichprobenumfang n

Halte fest: Mitte ist p, der Faktor kommt aus der Sicherheit, und die Wurzel enthält n im Nenner. Vervierfachen von n halbiert die Breite.

Merke

95 %-Umgebung für den Anteil: \(\left[p-1{,}96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}};\ p+1{,}96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\right]\)

Allgemeine Hinweise

Vierfach für halb

Soll ein Intervall halb so breit werden, braucht man den vierfachen Stichprobenumfang — nicht den doppelten.

Wurzel über den ganzen Bruch

\(\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\) ist nicht \(\frac{\sqrt{p(1-p)}}{n}\). Beim Eintippen Klammern setzen.

Anteile nicht runden

Grenzen für Anteile gibt man mit drei Nachkommastellen an; auf ganze Zahlen wird hier nicht gerundet.