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Abituraufgaben: Prognosen für Anteile

Befallene Äpfel und Umfragen mit Werbeversprechen — wie genau ist ein Anteil aus einer Stichprobe?

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Schädlinge im Obstgarten

AFB I–II

Ein Obstbauer weiß aus Erfahrung, dass 15 % seiner Äpfel von einem Schädling befallen sind. Für eine Qualitätskontrolle werden 400 Äpfel zufällig aus der großen Ernte entnommen.

Befallene Äpfel in der Stichprobe
Anteil0,080,100,120,140,160,180,200,22p = 0,15Anteil befallener Äpfel
95 %-Umgebung für den Anteil bei \(n=400\).
  1. Geben Sie die Standardabweichung des Anteils befallener Äpfel in der Stichprobe an.
  2. Berechnen Sie die 95 %-Umgebung für den Anteil.
  3. Ermitteln Sie die zugehörigen Anzahlen befallener Äpfel.
  4. Interpretieren Sie, was es bedeutet, wenn in der Stichprobe 80 befallene Äpfel gefunden werden.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(\sigma_h=\sqrt{p(1-p):n}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Halbe Breite \(1{,}96\,\sigma_h\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Grenzen mit 400 multiplizieren, dann nach innen runden.Vorsicht bei Werten knapp über einer ganzen Zahl.
Hinweis zu Aufgabe d)
Anteil berechnen und mit der Umgebung vergleichen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\sigma_h=\sqrt{\tfrac{0{,}15\cdot0{,}85}{400}}\approx0{,}0179\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(0{,}15\pm1{,}96\cdot0{,}0179\approx0{,}15\pm0{,}035\Rightarrow[0{,}115;\,0{,}185]\). Laplace: \(\sigma=\sqrt{51}\approx7{,}14\gt 3\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(400\cdot0{,}11500\approx46{,}003\) und \(400\cdot0{,}18499\approx73{,}997\). Nach innen gerundet: 47 bis 73 befallene Äpfel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(h=0{,}2\) liegt außerhalb der Umgebung. Das spricht dafür, dass der Befall in diesem Jahr größer ist als die üblichen 15 % — sicher ist das nicht, aber es wäre ein Anlass, genauer zu prüfen.

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Wie genau sind Umfragen?

AFB II–III

Ein Umfrageinstitut veröffentlicht regelmäßig Wahlumfragen mit 1000 Befragten. Eine Partei liegt stabil bei etwa 45 %.

In einer Werbebroschüre heißt es: „Mit unseren neuen Umfragen mit 2000 Befragten sagen wir den Stimmenanteil auf ± 1 Prozentpunkt genau voraus.“

Genauigkeit und Umfang
n = 1000n = 2000Anspruch ± 1 %0,400,420,440,460,480,50p = 0,45Anteil
95 %-Umgebungen für \(p=0{,}45\).
  1. Bestimmen Sie die 95 %-Umgebung für den Anteil bei 1000 Befragten.
  2. Leiten Sie eine Formel für den Stichprobenumfang her, der eine halbe Breite \(d\) garantiert.
  3. Überprüfen Sie die Aussage der Werbebroschüre.
  4. Nehmen Sie Stellung, ob das Institut auf 9508 Befragte umstellen sollte.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(p=0{,}45\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Ungleichung \(1{,}96\sqrt{p(1-p)/n}\le d\) umformen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Halbe Breite für 2000 Befragte berechnen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Kosten, Nutzen und andere Fehlerquellen bedenken.Begründete eigene Position.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(0{,}45\pm1{,}96\sqrt{\tfrac{0{,}45\cdot0{,}55}{1000}}=0{,}45\pm0{,}031\Rightarrow[0{,}419;\,0{,}481]\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Quadrieren und nach n umstellen: \(n\ge\dfrac{1{,}96^2\,p(1-p)}{d^2}\). Für unbekanntes p mit \(p(1-p)\le0{,}25\): \(n\ge\dfrac{0{,}9604}{d^2}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Bei 2000 Befragten: \(1{,}96\sqrt{\tfrac{0{,}2475}{2000}}\approx0{,}022\) — ± 2,2 Prozentpunkte, nicht ± 1. Für ± 1 Prozentpunkt bräuchte man \(n\ge\tfrac{1{,}96^2\cdot0{,}2475}{0{,}0001}\approx9508\) Befragte.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Fast fünfmal so viele Befragte kosten fast fünfmal so viel, halbieren den Zufallsfehler aber nur. Zudem gibt es Fehler, die mit n nicht kleiner werden (nicht erreichbare Gruppen, ehrliche Antworten, Meinungswechsel bis zur Wahl). Sinnvoller erscheint, bei rund 2000 Befragten zu bleiben und die Genauigkeit ehrlich mit ± 2 Prozentpunkten anzugeben.