Hundert Intervalle, fünf Fehlschüsse — zehn Übungen dazu, was eine Sicherheitswahrscheinlichkeit wirklich verspricht.
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Übungsaufgaben
Zehn Übungen von AFB I bis AFB III: Sicherheitswahrscheinlichkeiten deuten, Simulationen auswerten und Stichproben planen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen die gestuften Tipps.
A1
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I
Geben Sie an, ob die Aussagen zur Sicherheitswahrscheinlichkeit stimmen.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Merksatz: Zufällig ist das Intervall, nicht p — und „95 %“ beschreibt, wie oft das Verfahren auf lange Sicht trifft.
Ansatz: Was ändert sich von Stichprobe zu Stichprobe?
Weiter: „Etwa“ und „genau“ unterscheiden.
A2
Lückentext: die Bedeutung von γ
AFB I
Nennen Sie die fehlenden Begriffe — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Jede neue liefert ein anderes h und damit andere . Die Intervallgrenzen sind also . Zieht man sehr viele Stichproben, nähert sich die der Intervalle, die p enthalten, der Sicherheitswahrscheinlichkeit γ. Die Sicherheit gehört damit zum , nicht zu einem einzelnen Intervall.
„wahrer Anteil“ bleibt übrig — er ist die feste Größe, die getroffen werden soll.
Ansatz: Was schwankt, was bleibt fest?
Weiter: Gesetz der großen Zahlen: relative Häufigkeit ≈ Wahrscheinlichkeit.
A3
Simulation auswerten
AFB I
In einer Simulation werden 200 Konfidenzintervalle berechnet; 188 davon enthalten den wahren Anteil. Geben Sie die relative Häufigkeit der Treffer an.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(188:200=0{,}94\) — nah an 0,95, aber nicht gleich. Bei 200 Wiederholungen sind Abweichungen um einen Prozentpunkt ganz normal.
Ansatz: Treffer durch Anzahl der Intervalle.
Weiter: 188 : 200.
A4
Rechenkette: Umfang planen
AFB II
Ein Anteil soll auf ± 2 Prozentpunkte genau geschätzt werden; über p ist nichts bekannt (\(p(1-p)\le0{,}25\)). Ermitteln Sie den nötigen Umfang für verschiedene Sicherheiten.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
\(\gamma=90\,\%\) (c = 1,64)Personen
\(\gamma=95\,\%\) (c = 1,96)Personen
\(\gamma=99\,\%\) (c = 2,58)Personen
Faktor von 95 % auf 99 % (zwei Nachkommastellen)
\(n\ge(c\cdot0{,}5:0{,}02)^2=625c^2\). Von 95 % auf 99 % steigt der Aufwand um den Faktor \((2{,}58:1{,}96)^2\approx1{,}73\).
Beurteilen Sie die Deutungen des Intervalls [0,51; 0,57] (γ = 95 %).
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1angemessen
2nicht angemessen
Die Sicherheit bezieht sich auf das Verfahren. Aussagen über „sicher“, „genau 95 %“ oder ein schwankendes p verfehlen diese Idee.
Ansatz: Was ist zufällig, was fest?
Weiter: Ein Konfidenzintervall sagt nichts über Einzelpersonen.
A6
Eine Simulation planen
AFB II
Stellen Sie die Schritte einer Simulation zur Sicherheitswahrscheinlichkeit in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Wahren Anteil p und Stichprobenumfang n festlegen
2Eine Stichprobe simulieren und h berechnen
3Das Konfidenzintervall zu h bestimmen
4Notieren, ob das Intervall p enthält
5Viele Male wiederholen und die relative Trefferhäufigkeit berechnen
Ohne festgelegtes p lässt sich nicht prüfen, ob ein Intervall trifft — in der Simulation kennen wir p, in der Wirklichkeit nicht.
Ansatz: Was muss man vorher wissen, um „Treffer“ zu erkennen?
Weiter: Erst eine Stichprobe, dann viele.
A7
Sicherheit und Faktor
AFB II
Ordnen Sie jeder Sicherheitswahrscheinlichkeit den Faktor c zu.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Trick: Die Reihenfolge stimmt überein — höhere Sicherheit, größerer Faktor.
Ansatz: Sortiere beide Spalten der Größe nach.
Weiter: 1,96 und 2 liegen dicht beieinander, ebenso 95 % und 95,4 %.
A8
Sicherheit und Genauigkeit
AFB III
Bewerten Sie die Aussagen über das Zusammenspiel von γ, n und Breite.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
n macht das Intervall schmaler, ändert aber die Trefferquote nicht — die ist durch γ festgelegt. Ein 100 %-Intervall wäre \([0;\,1]\) und damit nutzlos.
Ansatz: Trenne Trefferquote und Breite.
Weiter: Was wäre ein Intervall, das immer trifft?
A9
Was passiert mit der Trefferquote?
AFB III
In einer Simulation mit \(p=0{,}3,\ n=400,\ \gamma=95\,\%\) enthalten etwa 95 % der Intervalle p. Schätzen Sie ab, wie sich die Trefferquote ändert.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = viel kleiner, 2 = kleiner, 3 = gleich, 4 = größer, 5 = viel größer. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = viel kleiner5 = viel größer
n = 1600 statt 400
γ = 99 % statt 95 %
γ = 90 % statt 95 %
p = 0,5 statt 0,3
Näherungsformel mit n = 30 und p = 0,02
Die Trefferquote ist durch γ festgelegt — n und p ändern nur die Breite. Bricht aber das Modell zusammen (kleines n, p nahe 0), trifft die Näherungsformel viel seltener.
Ansatz: Nur eine Stellschraube steuert die Trefferquote.
Weiter: Denke an den Grenzfall mit h = 0.
A10
Trickaufgabe: zwanzig Studien
AFB III
20 unabhängige Forschergruppen berechnen jeweils ein 95 %-Konfidenzintervall für denselben Anteil. Bestimmen Sie, wie viele Intervalle man im Mittel erwartet, die den wahren Anteil verfehlen.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Jede Gruppe verfehlt mit Wahrscheinlichkeit 0,05, also \(20\cdot0{,}05=1\). Wer nur die „auffälligste“ Studie veröffentlicht, berichtet oft genau diese eine.
