Die Grenzen sind zufällig
Was bedeutet „95 %“ bei einem Konfidenzintervall? Das zeigt sich erst, wenn man viele Stichproben zieht.
- Fest:Der wahre Anteil \(p\) ist eine feste, aber unbekannte Zahl.
- Zufällig:Jede neue Stichprobe liefert ein anderes \(h\) — und damit andere Grenzen. Die Intervallgrenzen sind Zufallsgrößen.
- Treffer:Manche Intervalle enthalten \(p\), manche verfehlen es.
Starte die Simulation mit ▶ oder ziehe einzelne Stichproben. Jede Stichprobe liefert ein Konfidenzintervall. Beobachte, welcher Anteil der Intervalle den wahren Wert p trifft.
Halte fest: Auf lange Sicht enthalten etwa 95 % der Intervalle den wahren Anteil — die Sicherheitswahrscheinlichkeit ist eine relative Häufigkeit über viele Stichproben.
Richtig deuten
Die Sicherheit gehört zum Verfahren, nicht zu einem einzelnen Intervall.
- Richtig:„Das Verfahren liefert in etwa 95 % aller Stichproben ein Intervall, das \(p\) enthält.“
- Vorsicht:„\(p\) liegt mit 95 % Wahrscheinlichkeit in \([0{,}319;\,0{,}403]\)“ ist ungenau — dieses feste Intervall enthält \(p\) oder nicht.
- Stellschrauben:Höhere Sicherheit → breiteres Intervall; größeres \(n\) → schmaleres Intervall.
Sicherheitswahrscheinlichkeit: \(\gamma\approx\) relative Häufigkeit der Intervalle, die \(p\) enthalten
Allgemeine Hinweise
Der Zufall steckt im Intervall
p ändert sich nie. Was schwankt, sind h und damit die Grenzen des Intervalls.
Genauer werden kostet
Halbe Breite bei gleicher Sicherheit verlangt etwa den vierfachen Stichprobenumfang.
Umfang planen
Soll die halbe Breite höchstens d sein, reicht wegen \(p(1-p)\le0{,}25\) sicher \(1{,}96\sqrt{\frac{0{,}25}{n}}\le d\), z. B. \(n\ge2401\) für \(d=0{,}02\).