Fünfzig simulierte Umfragen
AFB I–IIIn einer Informatikstunde simuliert Maja 50 Umfragen mit je 400 Befragten bei einem wahren Anteil von \(p=0{,}3\). Für jede Umfrage berechnet sie das 95 %-Konfidenzintervall.
Ihr Ergebnis steht in der Tabelle. Ihr Mitschüler meint: „Da stimmt was nicht, es müssten genau 47,5 Treffer sein.“
| Simulierte Stichproben | Intervalle mit p | Intervalle ohne p |
|---|---|---|
| 50 | 47 | 3 |
- Berechnen Sie die relative Häufigkeit der Intervalle, die p enthalten.
- Widerlegen Sie die Aussage des Mitschülers.
- Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle 50 Intervalle p enthalten.
- Interpretieren Sie die Wahrscheinlichkeit \(P(Y\le45)\approx0{,}104\) für die Trefferzahl \(Y\sim B(50;\,0{,}95)\).
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\tfrac{47}{50}=0{,}94\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Anzahl der Treffer ist selbst eine Zufallsgröße, näherungsweise \(B(50;\,0{,}95)\). Ihr Erwartungswert ist 47,5, aber eine halbe Zahl kann gar nicht auftreten; Werte wie 46, 47 oder 49 sind völlig normal. „Genau“ ist also falsch.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(0{,}95^{50}\approx0{,}077\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
In etwa 10 % aller Simulationen mit 50 Umfragen treffen höchstens 45 Intervalle. Auch ein solches Ergebnis wäre also kein Beleg dafür, dass Maja falsch gerechnet hat — erst viel weniger Treffer wären auffällig.
Umfrage zum Radentscheid
AFB II–IIIVor einem Bürgerentscheid über neue Radwege veröffentlicht eine Zeitung eine Umfrage: 54 % der Befragten stimmen zu; das 95 %-Konfidenzintervall ist \([0{,}51;\,0{,}57]\).
Die Überschrift lautet: „Die Mehrheit für die Radwege ist sicher.“ Im Text steht: „Mit 95 % Wahrscheinlichkeit liegt der wahre Anteil zwischen 51 % und 57 %.“
- Bestimmen Sie den Stichprobenumfang, der für ein 99 %-Intervall der halben Breite 0,03 nötig ist (p unbekannt).
- Vergleichen Sie diesen Umfang mit dem für 95 %.
- Beurteilen Sie den Satz im Zeitungstext.
- Diskutieren Sie die Überschrift „Die Mehrheit ist sicher“.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(n\ge\left(\tfrac{2{,}58\cdot0{,}5}{0{,}03}\right)^2=1849\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Für 95 %: \(n\ge1067{,}1\), also 1068. Für 99 % braucht man bei gleicher Breite etwa 73 % mehr Befragte.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Satz ist ungenau: Der wahre Anteil ist fest und liegt entweder im Intervall oder nicht. Korrekt wäre: „Das Verfahren liefert in etwa 95 % der Umfragen ein Intervall, das den wahren Anteil enthält.“ Im Alltag wird die Kurzform oft geduldet, streng genommen ist sie falsch.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Für die Überschrift spricht: Das ganze Intervall liegt über 0,5, eine Mehrheit ist also gut gestützt. Dagegen: Mit etwa 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit verfehlt das Verfahren den wahren Wert; dazu kommen Fehler, die das Intervall nicht erfasst (wer geht wirklich abstimmen, Meinungsänderungen). „Sicher“ ist daher zu stark — angemessen wäre „deutliche Mehrheit wahrscheinlich“.