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Übungen: Säulen werden zu Flächen

Breite Klassen, schmale Klassen — zehn Übungen, bei denen man lernt, einer hohen Säule nicht zu trauen.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen von AFB I bis AFB III: Säulenhöhen berechnen, Klassen vergleichen und Darstellungen beurteilen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen die gestuften Tipps.

A1
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Geben Sie bei fünf Aussagen über Säulendiagramme und Histogramme an, ob sie stimmen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merksatz: Sind die Klassen gleich breit, ist die Höhe proportional zur Häufigkeit; erst bei ungleichen Breiten muss durch die Breite geteilt werden.
Ansatz: Frage jeweils: Wird Höhe oder Fläche verglichen?
Weiter: Höhe = relative Häufigkeit : Klassenbreite.
A2
Lückentext: Häufigkeitsdichte
AFB I

Nennen Sie die fehlenden Begriffe — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Im Histogramm teilt man die relative Häufigkeit einer Klasse durch die . Das Ergebnis heißt und ist die Säulenhöhe. Die relative Häufigkeit steckt dann in der der Säule. Die Hochachse trägt deshalb eine wie „pro cm“ oder „pro min“. Nur wenn alle Klassen sind, kann man auf das Teilen verzichten.

„Anzahl“ wäre die Höhe im Säulendiagramm — im Histogramm bleibt es übrig.
Ansatz: Höhe mal Breite ergibt …
Weiter: Teilt man durch Minuten, wird die Einheit „pro Minute“.
A3
Blitzrechnung: Säulenhöhe
AFB I

In einer Umfrage zur Fahrzeit zur Schule liegen 18 % der Antworten in der Klasse von 30 bis 60 Minuten. Berechnen Sie die Höhe der Histogrammsäule (pro Minute).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(0{,}18:30=0{,}006\) pro Minute. Wer durch 60 teilt (die obere Grenze) statt durch die Breite 30, erhält die Hälfte.
Ansatz: Klassenbreite = obere minus untere Grenze.
Weiter: \(0{,}18:30\)
A4
Rechenkette: Fahrzeiten
AFB II

Fahrzeiten von 100 Schülerinnen und Schülern: \([0;10)\): 18, \([10;20)\): 34, \([20;30)\): 26, \([30;60)\): 18, \([60;90)\): 4 (in min). Ermitteln Sie Schritt für Schritt die gesuchten Werte.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. relative Häufigkeit der Klasse \([20;30)\)
  2. Säulenhöhe dieser Klasse pro min
  3. Säulenhöhe der Klasse \([60;90)\) (vier Nachkommastellen) pro min
  4. Anteil mit weniger als 20 min (Flächensumme)
Die letzte Klasse hat 4 Personen, aber eine 30 min breite Säule — ihre Höhe ist nur ein Zwanzigstel der Klasse \([10;20)\). Anteile liest man als Flächen ab: \(0{,}18+0{,}34=0{,}52\).
Ansatz: Relative Häufigkeit = Anzahl : 100.
Weiter: Höhe = relative Häufigkeit : Breite; für Anteile Flächen addieren.
A5
Säulen nach Höhe ordnen
AFB II

Ordnen Sie die Klassen der Fahrzeit-Umfrage nach der Höhe ihrer Histogrammsäule — die höchste zuerst.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1\([10;20)\): 34 Personen
2\([20;30)\): 26 Personen
3\([0;10)\): 18 Personen
4\([30;60)\): 18 Personen
5\([60;90)\): 4 Personen
\([0;10)\) und \([30;60)\) haben beide 18 Personen, aber die breite Klasse ist nur ein Drittel so hoch (0,006 statt 0,018 pro min).
Ansatz: Teile jede Anzahl durch die Klassenbreite.
Weiter: Gleiche Anzahl, dreifache Breite → ein Drittel der Höhe.
A6
Säulendiagramm oder Histogramm?
AFB II

Legen Sie für jede Datenlage fest, welche Darstellung angemessen ist.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Säulendiagramm genügt
2Histogramm nötig
Sobald Klassen unterschiedlich breit sind, braucht es das Histogramm. Einzelne Werte oder Kategorien ohne Breite zeigt ein Säulendiagramm richtig.
Ansatz: Gibt es Klassen — und sind sie gleich breit?
Weiter: Kategorien wie Farben haben gar keine Breite.
A7
Klasse und Säulenhöhe
AFB II

Ordnen Sie jeder Klasse (mit relativer Häufigkeit) die richtige Säulenhöhe zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Trick: Zuerst die Breiten notieren (5, 10, 5, 20, 60) — dann ist die Zuordnung Kopfrechnen. Die höchste Säule gehört zur schmalen Klasse mit 0,20, nicht zu den Klassen mit 0,30.
Ansatz: Breite jeder Klasse bestimmen.
Weiter: Relative Häufigkeit durch Breite teilen.
A8
Klassen zusammenlegen
AFB III

Die Klassen \([30;40)\) (Höhe 0,02) und \([40;50)\) (Höhe 0,01) werden zu \([30;50)\) zusammengelegt. Beurteilen Sie die Aussagen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Flächen: 0,2 + 0,1 = 0,3 auf Breite 20 → Höhe 0,015, der Mittelwert der Höhen. Im Säulendiagramm addieren sich die Anzahlen — dort würde die Säule höher.
Ansatz: Rechne mit Flächen, nicht mit Höhen.
Weiter: Neue Höhe = Gesamtfläche : neue Breite.
A9
Fehlersuche im Heft
AFB III

Überprüfen Sie die Sätze aus einem Heft — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der häufigste Fehler: Multiplizieren statt Teilen. Kontrolle: Höhe mal Breite muss die relative Häufigkeit ergeben.
Ansatz: Prüfe jede Zahl mit Höhe · Breite = relative Häufigkeit.
Weiter: Drei Sätze verwechseln Höhe, Breite oder Anzahl.
A10
Was passiert mit der Höhe?
AFB III

Eine Klasse \([20;30)\) mit relativer Häufigkeit 0,2 wird verändert. Schätzen Sie ab, wie sich ihre Säulenhöhe im Histogramm (bisher 0,02) ändert.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = viel kleiner, 2 = kleiner, 3 = gleich, 4 = größer, 5 = viel größer. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = viel kleiner5 = viel größer
Die Klasse wird auf \([20;60)\) erweitert, die Häufigkeit bleibt 0,2.
Die Häufigkeit verdoppelt sich, die Breite verdoppelt sich auch.
Die Klasse wird zu \([20;25)\) halbiert, die Hälfte der Werte bleibt drin.
Nur die Häufigkeit steigt auf 0,25.
Die Breite wird auf \([20;22)\) verkleinert, Häufigkeit bleibt 0,2.
Die Höhe ist ein Quotient: Zähler und Nenner gleich stark verändern lässt sie unverändert; nur die Breite zu verkleinern macht die Säule sehr hoch.
Ansatz: Höhe = Häufigkeit : Breite — was passiert mit Zähler und Nenner?
Weiter: Faktor 4 bei der Breite ist „viel“, Faktor 1,25 bei der Häufigkeit nur „etwas“.