Klassen unterschiedlicher Breite
Sind Klassen unterschiedlich breit, täuscht die Säulenhöhe. Erst die Fläche macht Klassen vergleichbar.
- Säulendiagramm:Höhe = Häufigkeit. Passt nur, wenn alle Säulen für gleich breite Klassen oder einzelne Werte stehen.
- Histogramm:Die Fläche einer Säule ist die relative Häufigkeit der Klasse.
- Höhe:Relative Häufigkeit geteilt durch die Klassenbreite — die Häufigkeitsdichte, z. B. in \(\frac{1}{\text{cm}}\).
Markiere eine Klasse (anklicken oder mit Tab und Pfeiltasten), zerlege sie oder lege sie mit der Nachbarklasse zusammen. Vergleiche beide Darstellungen.
Halte fest: Im Säulendiagramm wächst eine zusammengelegte Klasse in die Höhe. Im Histogramm bleibt ihre Fläche gleich — die Summe aller Flächen ist immer 1.
Vom Histogramm zur Dichte
Das Histogramm ist die Brücke von den Säulen zur Dichtefunktion.
- Binomialverteilung:Säulen der Breite 1 über jedem \(k\): Höhe und Fläche sind beide \(P(X=k)\).
- Feiner werden:Je schmaler die Klassen einer Messgröße, desto mehr nähert sich der obere Rand des Histogramms einer glatten Kurve.
- Dichtefunktion:Diese Grenzkurve ist der Graph von \(f\); aus Säulenflächen werden Flächen unter \(f\).
Histogramm: \(\text{Höhe}=\dfrac{\text{relative Häufigkeit}}{\text{Klassenbreite}}\)
Allgemeine Hinweise
Breite Randklassen
Fasst man seltene Werte am Rand zusammen, wirkt die Randklasse im Säulendiagramm plötzlich groß. Nur das Histogramm zeigt es richtig.
Achse beschriften
Die Hochachse eines Histogramms zeigt keine Anzahl, sondern „relative Häufigkeit pro cm“ (oder pro Einheit der Messgröße).
Summe als Kontrolle
Alle Säulenflächen zusammen ergeben 1. Stimmt die Summe nicht, ist eine Höhe falsch berechnet.