Wie lange am Bildschirm?
AFB I–IIEine Schülerzeitung hat 160 Jugendliche nach ihrer täglichen Bildschirmzeit gefragt und die Antworten in Klassen eingeteilt (siehe Tabelle).
In einem ersten Entwurf wurde ein Säulendiagramm mit den Anzahlen gezeichnet. Die Redaktion schreibt dazu: „Am häufigsten sind 3 bis 5 Stunden.“
| Bildschirmzeit (h pro Tag) | [0; 1) | [1; 2) | [2; 3) | [3; 5) | [5; 8) |
|---|---|---|---|---|---|
| Anzahl | 12 | 30 | 38 | 44 | 36 |
- Ermitteln Sie für jede Klasse die relative Häufigkeit und die Häufigkeitsdichte (pro Stunde).
- Zeichnen Sie das Histogramm.
- Erläutern Sie, warum die Aussage der Redaktion irreführend ist.
- Schätzen Sie den Anteil der Jugendlichen ab, die zwischen 2,5 und 4 Stunden am Bildschirm sind.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
| Klasse | [0; 1) | [1; 2) | [2; 3) | [3; 5) | [5; 8) |
|---|---|---|---|---|---|
| rel. Häufigkeit | 0,075 | 0,1875 | 0,2375 | 0,275 | 0,225 |
| Breite (h) | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 |
| Dichte (pro h) | 0,075 | 0,1875 | 0,2375 | 0,1375 | 0,075 |
Kontrolle: Die relativen Häufigkeiten ergeben zusammen 1.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Säulen über \([0;1)\) Höhe 0,075, \([1;2)\) 0,1875, \([2;3)\) 0,2375, \([3;5)\) 0,1375, \([5;8)\) 0,075. Hochachse „Häufigkeitsdichte pro h“, Rechtsachse „Bildschirmzeit in h“. Die Säulenflächen ergeben zusammen 1.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Klasse \([3;5)\) enthält zwar die meisten Personen, ist aber doppelt so breit wie die anderen. Pro Stunde liegen dort nur 0,1375 der Befragten, in \([2;3)\) dagegen 0,2375. Am dichtesten liegen die Werte also zwischen 2 und 3 Stunden; das Säulendiagramm überschätzt breite Klassen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(0{,}5\cdot0{,}2375+1\cdot0{,}1375\approx0{,}119+0{,}138=0{,}256\). Etwa ein Viertel der Befragten — unter der Annahme, dass die Werte innerhalb der Klassen gleichmäßig verteilt sind.
Vom Histogramm zur Glocke
AFB II–IIIEine faire Münze wird 40-mal geworfen; \(X\) zählt „Kopf“. Das Histogramm von \(X\) hat Säulen der Breite 1 über \(k=0,\dots,40\).
Um verschiedene Binomialverteilungen zu vergleichen, wird das Histogramm standardisiert: Man verschiebt es so, dass \(\mu\) bei 0 liegt, staucht die Breite mit dem Faktor \(\tfrac1\sigma\) und streckt die Höhe mit dem Faktor \(\sigma\). Die Glockenkurve \(\varphi(z)=\tfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\) hat ihr Maximum \(\varphi(0)\approx0{,}3989\).
- Begründen Sie, dass im Histogramm Fläche und Höhe jeder Säule gleich \(P(X=k)\) sind.
- Berechnen Sie \(P(X=20)\) sowie \(\mu\) und \(\sigma\).
- Vergleichen Sie die standardisierte Höhe der Säule bei \(k=20\) mit dem Maximum der Glockenkurve.
- Diskutieren Sie, ob das standardisierte Histogramm von \(B(40;\,0{,}1)\) ebenso gut zur Glockenkurve passt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Jede Säule hat die Breite 1, also ist Fläche = Höhe · 1 = Höhe. Da die Höhe \(P(X=k)\) ist, stimmt auch die Fläche mit \(P(X=k)\) überein; alle Flächen zusammen ergeben 1.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P(X=20)=\binom{40}{20}\cdot0{,}5^{40}\approx0{,}1254\); \(\mu=20\), \(\sigma=\sqrt{10}\approx3{,}162\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Standardisierte Höhe: \(\sigma\cdot P(X=20)\approx3{,}162\cdot0{,}1254\approx0{,}3965\). Das weicht von \(\varphi(0)\approx0{,}3989\) nur um etwa 0,6 % ab — die Glockenkurve beschreibt das standardisierte Histogramm sehr gut.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Für \(B(40;0{,}1)\) ist \(\mu=4\) und \(\sigma=\sqrt{3{,}6}\approx1{,}90\). Das Histogramm ist deutlich rechtsschief, weil links nur 4 Säulen bis 0 Platz haben. Das Standardisieren verschiebt und skaliert zwar, macht aber nichts symmetrisch. Die Glocke passt deshalb schlecht; erst für größere \(n\) (σ > 3) wäre die Näherung angemessen.