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Übungen: Prognose mit σ-Regeln

Münzen, Musterung, Faustregeln — zehn Übungen dazu, wie weit die Trefferzahl vom Erwartungswert abweichen darf.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen von AFB I bis AFB III: σ-Regeln anwenden, Prognoseintervalle aufstellen und ihre Breite einschätzen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen die gestuften Tipps.

A1
σ-Regeln
AFB I

Ordnen Sie jedem Vielfachen von σ die Wahrscheinlichkeit der σ-Umgebung zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Trick: 1,96 und 2 liegen dicht beieinander — ebenso 95 % und 95,4 %. Nur mit den „krummen“ Faktoren erhält man runde Prozentsätze.
Ansatz: Größerer Faktor → größere Wahrscheinlichkeit.
Weiter: 95 % gehört zu 1,96, nicht zu 2.
A2
1600 Münzwürfe
AFB I

Eine faire Münze wird 1600-mal geworfen. Bestimmen Sie die untere Grenze des ganzzahligen 95 %-Prognoseintervalls für die Anzahl „Kopf“.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(\mu=800\), \(\sigma=\sqrt{400}=20\): \(800-1{,}96\cdot20=760{,}8\), nach innen gerundet 761.
Ansatz: \(\sigma=\sqrt{1600\cdot0{,}5\cdot0{,}5}\).
Weiter: Untere Grenze aufrunden.
A3
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Geben Sie an, ob die Aussagen zu Prognoseintervallen stimmen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merksatz: Prognoseintervalle sagen voraus, wo die Trefferzahl sehr wahrscheinlich liegt — sie garantieren nichts.
Ansatz: Was muss bekannt sein, um μ und σ zu berechnen?
Weiter: Auch seltene Ergebnisse kommen vor.
A4
Rechenkette: Rot-Grün-Schwäche
AFB II

Etwa 8 % der Männer haben eine Rot-Grün-Schwäche. Bei einer Musterung werden 600 Männer untersucht. Ermitteln Sie das 95 %-Prognoseintervall.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. \(\mu\)
  2. \(\sigma\) (zwei Nachkommastellen)
  3. untere ganzzahlige Grenze
  4. obere ganzzahlige Grenze
\(48\pm1{,}96\cdot6{,}65=[34{,}98;\,61{,}02]\), nach innen gerundet \([35;\,61]\). Exakt ist \(P(35\le X\le61)\approx0{,}958\).
Ansatz: \(\sigma=\sqrt{600\cdot0{,}08\cdot0{,}92}\).
Weiter: Untere Grenze auf-, obere abrunden.
A5
Das Vorgehen
AFB II

Stellen Sie die Schritte zum Prognoseintervall mit σ-Regel in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1\(n\) und \(p\) aus dem Sachverhalt bestimmen
2\(\mu\) und \(\sigma\) berechnen
3Laplace-Bedingung \(\sigma\gt 3\) prüfen
4Grenzen \(\mu\pm1{,}96\sigma\) berechnen und nach innen runden
5Aussage im Sachkontext formulieren
Die Laplace-Bedingung wird oft vergessen oder erst am Ende geprüft — sie entscheidet aber, ob die σ-Regel überhaupt verwendet werden darf.
Ansatz: Erst modellieren, dann rechnen.
Weiter: Ohne σ lässt sich die Bedingung nicht prüfen.
A6
σ-Regel erlaubt?
AFB II

Untersuchen Sie, ob sich die σ-Regeln für ein Prognoseintervall eignen.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1σ-Regel geeignet
2exakt rechnen (Bcd)
\(n=80,\ p=0{,}4\) ergibt \(\sigma\approx4{,}38\) — geeignet. \(n=100,\ p=0{,}9\) hat genau \(\sigma=3\): nicht echt größer, also exakt rechnen.
Ansatz: \(\sigma\gt 3\iff np(1-p)\gt 9\).
Weiter: Rechne \(np(1-p)\) und vergleiche mit 9.
A7
Fehlersuche: Prognoseintervall
AFB II

Überprüfen Sie die Rechnung zu \(n=400,\ p=0{,}25\) — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Beim Runden nach außen gerät man leicht über die Sicherheit hinaus; üblich ist, nur ganze Zahlen im Intervall zu nehmen.
Ansatz: Prüfe σ, den Faktor und die Rundung.
Weiter: Nur ganze Zahlen innerhalb des Intervalls.
A8
Aussagen beurteilen
AFB III

Beurteilen Sie die Aussagen über Prognoseintervalle für die Trefferzahl.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die Breite wächst mit \(\sqrt n\). p und 1 − p liefern dieselbe Breite. „95 %“ bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit, nicht auf die Anzahl der Werte.
Ansatz: \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\) untersuchen.
Weiter: Wie viele Werte liegen im Intervall — und wie viele gibt es insgesamt?
A9
Trickaufgabe: nur nach oben
AFB III

Eine Binomialverteilung erfüllt die Laplace-Bedingung. Geben Sie an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Trefferzahl oberhalb von \(\mu+1{,}96\sigma\) liegt.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Außerhalb der 95 %-Umgebung liegen 5 % — wegen der Symmetrie je 2,5 % oben und unten.
Ansatz: Wie viel liegt insgesamt außerhalb?
Weiter: Symmetrisch aufteilen.
A10
Wie ändert sich die Breite?
AFB III

Ausgangspunkt: 95 %-Prognoseintervall für \(n=400,\ p=0{,}3\). Schätzen Sie ab, wie sich die Breite ändert.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = halb so breit, 2 = etwas schmaler, 3 = gleich, 4 = etwas breiter, 5 = doppelt so breit. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = halb so breit5 = doppelt so breit
n = 1600
p = 0,7
Sicherheit 90 % statt 95 %
n = 100
Sicherheit 99 % statt 95 %
Breite \(=2\cdot c\cdot\sqrt{np(1-p)}\): n geht mit der Wurzel ein, die Sicherheit über den Faktor c, p und 1 − p symmetrisch.
Ansatz: Welcher Teil der Formel ändert sich?
Weiter: \(\sqrt4=2\); \(1{,}64:1{,}96\approx0{,}84\).