Die σ-Regeln
Für große \(n\) muss man Prognoseintervalle nicht Säule für Säule aufbauen: Die σ-Regeln der Normalverteilung liefern sie direkt.
- Voraussetzung:\(X\sim B(n;p)\) mit \(\sigma>3\) — dann gelten die Flächenanteile der Normalverteilung.
- σ-Regeln:\(P(\mu-1{,}64\sigma\le X\le\mu+1{,}64\sigma)\approx0{,}90\); \(1{,}96\sigma\to0{,}95\); \(2{,}58\sigma\to0{,}99\).
- Merkhilfe:Innerhalb von \(\mu\pm\sigma\) liegen etwa 68 %, innerhalb von \(\mu\pm2\sigma\) etwa 95,4 %.
Ziehe das Lineal am Griff unter das Histogramm, sodass seine Mitte bei μ liegt. Wähle die Armlänge und trage die Messung ein. Was passiert, wenn das Lineal nicht mittig liegt?
| c | Mitte | ganzzahliges Intervall | P exakt | σ-Regel |
|---|
Halte fest: Liegt das Lineal mittig bei μ, erfasst die Armlänge 1,96 σ gut 95 % der Wahrscheinlichkeit — bei jeder Verteilung mit σ > 3. Außermittig ist es deutlich weniger.
Ein Intervall aufstellen
Ein Prognoseintervall entsteht in drei Schritten.
- Schritt 1:Erwartungswert und Standardabweichung: \(n=500,\ p=0{,}3\Rightarrow\mu=150,\ \sigma=\sqrt{105}\approx10{,}25>3\).
- Schritt 2:Grenzen: \(150\pm1{,}96\cdot10{,}25\), also \([129{,}9;\,170{,}1]\).
- Schritt 3:Nur ganze Zahlen im Intervall: \([130;\,170]\); Kontrolle \(P(130\le X\le170)\approx0{,}955\).
- Aussage:„Mit etwa 95 % Wahrscheinlichkeit liegt die Trefferzahl zwischen 130 und 170.“
95 %-Prognoseintervall: \([\mu-1{,}96\sigma;\ \mu+1{,}96\sigma]\)
Allgemeine Hinweise
Erst σ > 3 prüfen
Die σ-Regeln stammen aus der Normalverteilung. Ist σ ≤ 3, ermittelt man das Intervall mit Bcd bzw. binomCdf.
Nach innen runden
Die Trefferzahl ist ganzzahlig: untere Grenze aufrunden, obere abrunden. Die Kontrolle mit dem Rechner zeigt, ob die Sicherheit erreicht ist.
Prognose braucht p
Ein Prognoseintervall sagt voraus, wo X landet, wenn p bekannt ist. Der umgekehrte Schluss von X auf p kommt später.