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Abituraufgaben: Prognose mit σ-Regeln

Versicherungsfälle und ein verdächtiger Münzwurf — wie weit darf die Trefferzahl von μ abweichen?

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Handy-Versicherung

AFB I–II

Eine Versicherung weiß: Im Laufe eines Jahres melden 12 % der Kunden einen Displayschaden. Ein Händler hat 900 Verträge abgeschlossen; \(X\) zählt die Schadensmeldungen im nächsten Jahr. Die Schäden treten unabhängig voneinander auf.

Schadensfälle bei 900 Verträgen
8090100110120130k
Hervorgehoben: das ganzzahlige 95 %-Prognoseintervall.
  1. Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von \(X\) und prüfen Sie die Laplace-Bedingung.
  2. Bestimmen Sie mit der σ-Regel das ganzzahlige 95 %-Prognoseintervall.
  3. Überprüfen Sie mit der Binomialverteilung, welche Sicherheit das Intervall tatsächlich hat.
  4. Interpretieren Sie das Intervall für die Planung des Händlers.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(X\sim B(900;\,0{,}12)\).
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\mu\pm1{,}96\sigma\), dann nach innen runden.
Hinweis zu Aufgabe c)
Bcd mit Lower 89, Upper 127.
Hinweis zu Aufgabe d)
Was bedeutet „95 %“ für ein einzelnes Jahr?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\mu=108\), \(\sigma=\sqrt{900\cdot0{,}12\cdot0{,}88}=\sqrt{95{,}04}\approx9{,}75\gt 3\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(108\pm1{,}96\cdot9{,}75=[88{,}89;\,127{,}11]\), ganzzahlig \([89;\,127]\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(P(89\le X\le127)\approx0{,}9488\) — knapp unter 95 %. Die σ-Regel ist eine Näherung; durch das Runden nach innen fällt die Sicherheit hier minimal unter die Grenze.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Der Händler kann mit etwa 95 % Wahrscheinlichkeit von 89 bis 127 Schadensmeldungen ausgehen und z. B. Ersatzteile für bis zu 127 Displays vorhalten. In etwa einem von zwanzig Jahren liegt die Zahl außerhalb — dann müsste er nachbestellen oder hätte zu viel auf Lager.

2

Ist die Münze fair?

AFB II–III

Lea vermutet, dass eine Münze nicht fair ist. Sie wirft sie 1600-mal und erhält 845-mal „Kopf“.

Ihr Bruder meint: „Je öfter man wirft, desto näher kommt die Anzahl ‚Kopf‘ an die Hälfte der Würfe heran.“

Intervalle für 1600 Münzwürfe
90 %95 %99 %740760780800820840860845Anzahl „Kopf“
Prognoseintervalle um \(\mu=800\); markiert ist die Beobachtung 845.
  1. Ermitteln Sie für eine faire Münze das ganzzahlige 95 %- und das 99 %-Prognoseintervall.
  2. Bewerten Sie Leas Ergebnis auf beiden Sicherheitsniveaus.
  3. Vergleichen Sie die Breiten des 90 %-, 95 %- und 99 %-Intervalls.
  4. Diskutieren Sie die Aussage des Bruders.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(\mu=800\), \(\sigma=20\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Liegt 845 in den Intervallen?Auf die Rolle des Niveaus eingehen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Breite \(=2c\sigma\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Absolute und relative Abweichung getrennt betrachten.Beide Lesarten prüfen und abwägen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

95 %: \(800\pm39{,}2\Rightarrow[761;\,839]\). 99 %: \(800\pm51{,}6\Rightarrow[749;\,851]\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

845 liegt außerhalb des 95 %-Intervalls, aber innerhalb des 99 %-Intervalls. Auf dem 95 %-Niveau spricht das Ergebnis gegen eine faire Münze, auf dem 99 %-Niveau nicht. Das Ergebnis ist auffällig, aber kein Beweis; die Wahl des Niveaus sollte vor dem Experiment festgelegt werden.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Breiten etwa 65,6, 78,4 und 103,2. Höhere Sicherheit kostet Breite: Von 95 % auf 99 % wächst das Intervall um rund 32 %.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die typische absolute Abweichung \(\sigma=\sqrt{n}\cdot0{,}5\) wächst mit n (bei 1600 Würfen 20, bei 6400 Würfen 40) — absolut entfernt sich die Anzahl eher weiter von der Hälfte. Der Anteil \(h\) dagegen streut mit \(\tfrac{0{,}5}{\sqrt n}\) immer weniger. Richtig ist die Aussage also nur für den Anteil, nicht für die Anzahl.