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Übungen: Die Gaußsche Glockenkurve

Wendestellen ablesen, Gipfel berechnen, σ enttarnen — zehn Übungen rund um Lage und Breite der Glocke.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen von AFB I bis AFB III: μ und σ am Graphen erkennen, Höhen und Wendestellen berechnen und Veränderungen einschätzen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen die gestuften Tipps.

A1
Parameter und Graph
AFB I

Ordnen Sie jedem Merkmal der Glockenkurve die passende Größe zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Trick: Alles zur Lage hängt an μ, alles zur Breite und Höhe an σ — und die Fläche hängt an gar nichts.
Ansatz: Welche Merkmale beschreiben die Lage, welche die Form?
Weiter: Die Höhe folgt aus der Fläche 1 und der Breite.
A2
Blitzrechnung: IQ-Kurve
AFB I

Intelligenzquotienten werden oft mit \(\mu=100\) und \(\sigma=15\) modelliert. Berechnen Sie die Höhe des Hochpunkts der Dichtefunktion (vier Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f(100)=\tfrac{1}{15\sqrt{2\pi}}\approx0{,}0266\). Die Zahl ist klein, weil die Kurve 15 Punkte breit ist — die Fläche muss trotzdem 1 bleiben.
Ansatz: Setze \(x=\mu\) ein: Der Exponent wird 0.
Weiter: \(e^0=1\), bleibt \(\tfrac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\).
A3
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Geben Sie an, ob die Aussagen zur Glockenkurve stimmen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merksatz: μ bestimmt die Lage, σ Breite und Höhe; die Kurve bleibt immer über der x-Achse.
Ansatz: Überlege, was im Exponenten und im Vorfaktor steht.
Weiter: Achte auf die Schreibweise mit σ².
A4
Rechenkette: Geburtsgewicht
AFB II

Das Geburtsgewicht \(X\) (in g) sei normalverteilt mit \(\mu=3400\) und \(\sigma=500\). Ermitteln Sie Schritt für Schritt die gesuchten Werte.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. linke Wendestelle g
  2. rechte Wendestelle g
  3. \(P(2900\le X\le3900)\) (vier Nachkommastellen)
  4. Anteil über 4400 g
Zwischen den Wendestellen liegen immer rund 68,3 %; 4400 g liegen genau \(2\sigma\) über \(\mu\), darüber liegen etwa 2,3 %.
Ansatz: Wendestellen: \(\mu\pm\sigma\).
Weiter: Ncd mit Lower 4400, Upper 1E99, σ 500, μ 3400.
A5
Gleiche Lage oder gleiche Breite?
AFB II

Vergleichen Sie jede Verteilung mit \(N(10;\,4)\) (Schreibweise \(N(\mu;\,\sigma^2)\)) und ordnen Sie sie zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1gleiche Lage
2gleiche Breite
3beides anders
Vergleichsbasis: \(\mu=10\), \(\sigma=2\). Gleiche Breite heißt gleiches \(\sigma^2=4\) — die zweite Zahl, nicht die erste.
Ansatz: Erste Zahl: Lage, zweite Zahl: Varianz.
Weiter: Gleiche Breite ⇔ gleiche zweite Zahl.
A6
Nach der Höhe ordnen
AFB II

Ordnen Sie die Glockenkurven nach der Höhe ihres Hochpunkts — die höchste zuerst.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1\(N(3;\,0{,}25)\)
2\(N(-2;\,1)\)
3\(N(8;\,4)\)
4\(N(0;\,9)\)
5\(N(5;\,25)\)
Die Höhe hängt nur von \(\sigma\) ab: \(\sigma=0{,}5;\,1;\,2;\,3;\,5\). Wer nach \(\mu\) sortiert, bekommt eine falsche Reihenfolge.
Ansatz: \(\mu\) spielt für die Höhe keine Rolle.
Weiter: Kleines \(\sigma\) → hoher Gipfel.
A7
Was bewirken μ und σ?
AFB II

Beurteilen Sie die Aussagen über eine Veränderung der Parameter.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
„Jeder Funktionswert halbiert sich“ gilt nur am Hochpunkt: In den Flanken wird die Kurve bei größerem σ sogar höher. Die Fläche bleibt immer 1.
Ansatz: Unterscheide Lage (μ) und Form (σ).
Weiter: Vergleiche z. B. \(f(2)\) für \(\sigma=1\) und \(\sigma=2\) bei \(\mu=0\).
A8
Fehlersuche: Wendestellen
AFB III

Überprüfen Sie die Herleitung der Wendestellen von \(\varphi(z)=\tfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\) — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der häufigste Fehler ist das Vorzeichen in der Produktregel. Kontrolle: Am Hochpunkt z = 0 muss φ″ negativ sein — (0 − 1) · φ(0) < 0 passt.
Ansatz: Leite \(-z\cdot\varphi(z)\) mit der Produktregel ab.
Weiter: Setze am Ende \(z=\tfrac{x-\mu}{\sigma}\) ein.
A9
Trickaufgabe: σ aus der Höhe
AFB III

Eine Glockenkurve hat ihren Hochpunkt bei \((40\,|\,0{,}08)\). Bestimmen Sie \(\sigma\) (zwei Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(\tfrac1{\sigma\sqrt{2\pi}}=0{,}08\Rightarrow\sigma=\tfrac1{0{,}08\sqrt{2\pi}}\approx4{,}99\). Die 40 ist nur \(\mu\) und spielt keine Rolle — genau das ist die Falle.
Ansatz: Die Hochpunkthöhe hängt nur von σ ab.
Weiter: Nach \(\sigma\) umstellen: \(\sigma=\tfrac1{0{,}08\sqrt{2\pi}}\).
A10
Wie hoch wird der Gipfel?
AFB III

Eine Normalverteilung wird verändert. Schätzen Sie ab, wie sich die Höhe des Hochpunkts ändert.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = viel kleiner, 2 = kleiner, 3 = gleich, 4 = größer, 5 = viel größer. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = viel kleiner5 = viel größer
σ wird halbiert
μ wird verdoppelt
σ wird um 20 % größer
σ wird vervierfacht
σ wird um 20 % kleiner
Die Höhe ist \(\tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\): umgekehrt proportional zu \(\sigma\), unabhängig von \(\mu\). Faktor 2 oder 4 ist „viel“, 20 % nur „etwas“.
Ansatz: Höhe und σ sind umgekehrt proportional.
Weiter: μ taucht in der Höhe gar nicht auf.