Die Gaußsche Glockenkurve

Die Glockenkurve ist die Grenzform der Binomialhistogramme. Aus der Standardform entsteht jede Normalverteilung.

Beobachtung:Histogramme von \(B(n;p)\) werden für großes \(n\) glockenförmig — unabhängig von \(p\).
Standardisieren:Um \(\mu\) zentrieren, Breite durch \(\sigma\), Höhe mal \(\sigma\): Alle Histogramme nähern sich derselben Kurve.
Gauß-Funktion:\(\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{z^2}{2}}\), die Dichte der Standardnormalverteilung (\(\mu=0,\ \sigma=1\)).

Herleitung:

\(\varphi(z)=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{z^2}{2}}\)

Start

Glockenkurve mit Maximum bei 0 und Wendestellen bei ±1.

\(\varphi\!\left(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\right)=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)

| z = (x − μ) : σ

Die Kurve wird um μ verschoben und auf das σ-Fache verbreitert.

\(f(x)=\tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)

| : σ

Durch das Verbreitern wächst die Fläche auf σ — Teilen durch σ macht sie wieder 1.

μ und σ im Graphen

Die beiden Parameter lassen sich direkt am Graphen ablesen.

\(\mu\):Lage: Hochpunkt und Symmetrieachse bei \(x=\mu\) — der Erwartungswert.
\(\sigma\):Breite: Wendestellen bei \(\mu-\sigma\) und \(\mu+\sigma\).
Höhe:\(f(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) — doppeltes \(\sigma\) ergibt halbe Höhe, denn die Fläche bleibt 1.

Verschiebe μ und verändere σ mit den Reglern. Merke dir eine Kurve und vergleiche sie mit der neuen.

Erwartungswert μ

Standardabweichung σ

σ-Streifen

Halte fest: μ verschiebt die Glocke, σ macht sie breiter und flacher. Zwischen den Wendestellen liegen immer etwa 68,3 % der Fläche.

Merke

Dichte der Normalverteilung: \(f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)

Der Abstand von der Symmetrieachse zu einer Wendestelle ist genau σ. So lässt sich σ aus einer Skizze bestimmen.

Oft steht die Varianz σ² in der Klammer. Bei N(500; 16) ist σ = 4 — nicht 16.

f(μ) sagt nur, wo die Dichte am größten ist. Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter der Kurve.