Wie groß sind Frauen?
AFB I–IIDie Körpergröße \(X\) erwachsener Frauen in Deutschland wird durch eine Normalverteilung mit \(\mu=166\,\mathrm{cm}\) und \(\sigma=6{,}5\,\mathrm{cm}\) beschrieben.
- Geben Sie die Koordinaten des Hochpunkts und die Wendestellen der Dichtefunktion an.
- Skizzieren Sie den Graphen der Dichtefunktion im Bereich von 140 cm bis 192 cm.
- Berechnen Sie den Anteil der Frauen, die zwischen 159,5 cm und 172,5 cm groß sind.
- Interpretieren Sie den Wert \(f(166)\approx0{,}061\) im Sachzusammenhang.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Hochpunkt \(H(166\,|\,\tfrac1{6{,}5\sqrt{2\pi}})\approx H(166\,|\,0{,}0614)\); Wendestellen bei \(159{,}5\) und \(172{,}5\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Glockenförmiger Graph, symmetrisch zu \(x=166\), Hochpunkt bei etwa 0,061, Wendepunkte bei 159,5 und 172,5 (Höhe etwa 0,037), nähert sich zu beiden Seiten der Achse, ohne sie zu erreichen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(P(159{,}5\le X\le172{,}5)=\text{normCdf}(159.5,172.5,166,6.5)\approx0{,}6827\) — etwa 68,3 %.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Es ist keine Wahrscheinlichkeit, sondern eine Dichte: Für ein schmales Intervall der Breite \(\Delta x\) um 166 cm ist \(P\approx0{,}061\cdot\Delta x\), z. B. etwa 6 % für 165,5 cm bis 166,5 cm. Die Wahrscheinlichkeit für genau 166 cm ist 0.
Die Glocke analysieren
AFB II–IIIBetrachtet wird die Schar \(f_\sigma(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}\) mit \(\sigma>0\) (Normalverteilungen mit \(\mu=0\)).
Ein Mitschüler behauptet: „Verdoppelt man σ, halbiert sich jeder Funktionswert.“
- Zeigen Sie, dass \(f_\sigma'(x)=-\dfrac{x}{\sigma^2}\,f_\sigma(x)\) gilt, und folgern Sie die Lage des Hochpunkts.
- Leiten Sie die Wendestellen von \(f_\sigma\) her.
- Untersuchen Sie, auf welcher Kurve alle Wendepunkte der Schar liegen.
- Widerlegen Sie die Behauptung des Mitschülers.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die innere Ableitung von \(-\tfrac{x^2}{2\sigma^2}\) ist \(-\tfrac{x}{\sigma^2}\), also \(f_\sigma'(x)=-\tfrac{x}{\sigma^2}f_\sigma(x)\). Da \(f_\sigma(x)>0\), ist \(f_\sigma'(x)=0\iff x=0\); links positiv, rechts negativ → Hochpunkt bei \(x=0\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f_\sigma''(x)=-\tfrac1{\sigma^2}f_\sigma(x)+\tfrac{x^2}{\sigma^4}f_\sigma(x)=\tfrac{x^2-\sigma^2}{\sigma^4}f_\sigma(x)\). Null für \(x=\pm\sigma\), dort Vorzeichenwechsel → Wendestellen \(x=\pm\sigma\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f_\sigma(\sigma)=\tfrac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-1/2}=\tfrac1{\sigma\sqrt{2\pi e}}\). Mit \(x=\sigma\) (rechte Wendestelle) liegen die Wendepunkte auf \(y=\tfrac{1}{x\sqrt{2\pi e}}\approx\tfrac{0{,}242}{x}\), links symmetrisch auf \(y=\tfrac1{|x|\sqrt{2\pi e}}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
An der Stelle \(x=2\): \(f_1(2)\approx0{,}054\), aber \(f_2(2)\approx0{,}121\) — der Wert ist größer geworden, nicht halbiert. Nur am Hochpunkt halbiert sich der Wert; in den Flanken wird die breitere Kurve höher, damit die Fläche 1 bleibt.