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Übungen: Diskret oder stetig?

Zählen oder messen, Dichte oder Säule — zehn Übungen, bei denen ein einzelner Punkt plötzlich nichts mehr wert ist.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen von AFB I bis AFB III: Zufallsgrößen einordnen, Dichten prüfen und Flächen berechnen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen die gestuften Tipps.

A1
Zählen oder messen?
AFB I

Ordnen Sie jede Zufallsgröße dem passenden Typ zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1diskret
2stetig
Notenpunkte sind gerundete Urteile mit nur 16 möglichen Werten — also diskret. Laufzeit, Regenmenge, Verbrauch und Dauer werden gemessen und können jeden Zwischenwert annehmen.
Ansatz: Frage bei jeder Karte: Wird gezählt oder gemessen?
Weiter: Auch eine gemessene Größe mit wenigen Nachkommastellen bleibt stetig modelliert.
A2
Lückentext: Wahrscheinlichkeit als Fläche
AFB I

Nennen Sie die fehlenden Fachbegriffe — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Bei einer stetigen Zufallsgröße ist eine Wahrscheinlichkeit eine unter dem Graphen der . Die unter dem Graphen beträgt 1. Für einen einzelnen Wert ist die Wahrscheinlichkeit , deshalb ist \(P(X\lt a)\) \(P(X\le a)\).

„Säulenhöhe“ passt zu diskreten Verteilungen im Histogramm mit Breite 1 — bei stetigen Größen gibt es keine Säulen, nur Flächen unter einer Kurve.
Ansatz: Denke an das Integral \(\int_a^b f(x)\,dx\).
Weiter: Ein einzelner Punkt hat die Breite 0 — welche Fläche liegt darüber?
A3
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Geben Sie bei fünf Aussagen über diskrete und stetige Zufallsgrößen an, ob sie stimmen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merksatz: Diskret heißt zählen und Einzelwerte haben Wahrscheinlichkeit; stetig heißt messen und nur Intervalle zählen.
Ansatz: Prüfe bei jeder Aussage zuerst: diskret oder stetig?
Weiter: Bei stetigen Größen sind Randpunkte bedeutungslos, bei diskreten nicht.
A4
Wartezeit auf die Fähre
AFB II

Eine Fähre fährt alle 20 Minuten; die Wartezeit \(X\) (in min) einer zufällig ankommenden Person ist auf \([0;\,20]\) gleichverteilt. Berechnen Sie \(P(5\le X\le12)\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Die Dichte ist konstant \(f(x)=\tfrac{1}{20}=0{,}05\), die Fläche ein Rechteck: \(7\cdot0{,}05=0{,}35\). Wer die Grenzen 5 und 12 mitzählt, rechnet diskret mit 8 Minuten — falsch, die Breite ist 7.
Ansatz: Gleichverteilt heißt: Die Dichte ist über \([0;\,20]\) konstant.
Weiter: Höhe \(\tfrac{1}{20}\), Breite \(12-5\).
A5
Welche Funktion ist eine Dichte?
AFB II

Untersuchen Sie, welche Funktionen auf dem Intervall \([0;\,2]\) (außerhalb 0) Dichtefunktionen sind.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\(0{,}75x^2\) hat die Fläche 2, \(f(x)=1\) ebenfalls 2 — zu groß. \(1-x\) wird für \(x>1\) negativ und ist deshalb keine Dichte, obwohl ihre Fläche auf \([0;\,2]\) sogar 0 ist.
Ansatz: Zwei Bedingungen: \(f(x)\ge0\) und \(\int_0^2 f(x)\,dx=1\).
Weiter: \(\int_0^2 x^2\,dx=\tfrac83\).
A6
Rechenkette: Dreiecksdichte
AFB II

Die Zufallsgröße \(X\) hat auf \([0;\,4]\) die Dichte \(f(x)=\tfrac{x}{8}\). Ermitteln Sie Schritt für Schritt die Wahrscheinlichkeiten (Dezimalzahl).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. \(P(X\le2)\)
  2. \(P(X\le3)\)
  3. \(P(2\le X\le3)\)
  4. Median \(m\) mit \(P(X\le m)=0{,}5\) (zwei Nachkommastellen)
Stammfunktion \(F(x)=\tfrac{x^2}{16}\): \(F(2)=0{,}25\), \(F(3)=0{,}5625\), Differenz \(0{,}3125\). Median: \(\tfrac{m^2}{16}=0{,}5\Rightarrow m=\sqrt8\approx2{,}83\) — nicht 2, weil die Dichte nach rechts ansteigt.
Ansatz: Bilde eine Stammfunktion von \(\tfrac{x}{8}\).
Weiter: Für den Median \(\tfrac{m^2}{16}=\tfrac12\) nach \(m\) auflösen.
A7
Rechenweg ordnen
AFB II

Stellen Sie die Schritte zur Berechnung von \(P(a\le X\le b)\) aus einer gegebenen Dichtefunktion in der richtigen Reihenfolge dar.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Prüfen, dass \(f(x)\ge0\) auf dem ganzen Bereich gilt
2Prüfen, dass die Gesamtfläche 1 ist
3Eine Stammfunktion \(F\) bestimmen
4\(F(b)-F(a)\) berechnen
5Ergebnis im Sachzusammenhang deuten
Oft wird die Kontrolle „Gesamtfläche 1“ vergessen — dann rechnet man mit einer Funktion, die gar keine Dichte ist.
Ansatz: Erst die Dichte prüfen, dann rechnen, zuletzt deuten.
Weiter: Die Stammfunktion braucht man vor dem Einsetzen der Grenzen.
A8
Trickaufgabe: genau 2
AFB III

Mit der Dichte \(f(x)=\tfrac{x}{8}\) auf \([0;\,4]\): Geben Sie \(P(X=2)\) an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(P(X=2)=\int_2^2\tfrac{x}{8}\,dx=0\). Der Funktionswert \(f(2)=0{,}25\) ist eine Dichte, keine Wahrscheinlichkeit.
Ansatz: Wie breit ist das Intervall von 2 bis 2?
Weiter: Nicht \(f(2)\) eintragen.
A9
Fehlersuche im Heft
AFB III

Überprüfen Sie die sechs Sätze aus einem Heft — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten: Dichtewert und Wahrscheinlichkeit verwechseln. f(x) allein ist nie die Antwort auf „wie wahrscheinlich“.
Ansatz: Drei Fehler — lies jede Rechnung nach.
Weiter: Achte auf Breite mal Höhe und auf Einzelwerte.
A10
Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit?
AFB III

Für eine auf \([0;\,10]\) gleichverteilte Zufallsgröße wird das Intervall verändert. Schätzen Sie ab, wie sich \(P\) im Vergleich zu \(P(2\le X\le4)=0{,}2\) ändert.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = viel kleiner, 2 = kleiner, 3 = gleich, 4 = größer, 5 = viel größer. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = viel kleiner5 = viel größer
\(P(2\lt X\lt 4)\)
\(P(6\le X\le8)\)
\(P(2\le X\le9)\)
\(P(3\le X\le3{,}5)\)
\(P(X=3)\)
Bei der Gleichverteilung zählt nur die Breite des Intervalls: gleiche Breite, gleiche Wahrscheinlichkeit — egal wo; Randpunkte ändern nichts, ein Einzelwert hat 0.
Ansatz: Vergleiche nur die Intervallbreiten mit 2.
Weiter: Breite 7 ist mehr als das Dreifache, Breite 0,5 ein Viertel.