Zählen oder messen?
Ob eine Zufallsgröße diskret oder stetig ist, entscheidet die Frage: Wird gezählt oder gemessen?
- Diskret:Die Zufallsgröße nimmt einzelne, abzählbar viele Werte an — man zählt. Jeder Wert hat eine Wahrscheinlichkeit \(P(X=k)\).
- Stetig:Jeder Wert aus einem Intervall ist möglich — man misst (Zeit, Länge, Masse, Temperatur).
- Folge:Bei stetigen Größen ist \(P(X=a)=0\). Nur Intervalle wie \(P(170\le X\le175)\) haben eine positive Wahrscheinlichkeit.
Sortiere jede Zufallsgröße ein: Karte in ein Fach ziehen, ein Fach anklicken oder die Tasten 1 und 2 drücken. Wenn alle Karten liegen, prüfe.
Halte fest: Zählen liefert eine diskrete, Messen eine stetige Zufallsgröße. Entscheidend ist die Größe selbst, nicht wie genau man sie aufschreibt.
Wahrscheinlichkeit als Fläche
Bei stetigen Zufallsgrößen treten Flächen an die Stelle der Säulen.
- Dichtefunktion:\(f(x)\ge0\) für alle \(x\), und die Gesamtfläche unter dem Graphen ist \(1\).
- Intervall:Die Wahrscheinlichkeit ist die Fläche zwischen Graph und \(x\)-Achse über dem Intervall \([a;\,b]\).
- Beispiel:Wartezeit \(X\) (in min) bis zum nächsten Bus, gleich wahrscheinlich zwischen 0 und 10: \(f(x)=0{,}1\), also \(P(2\le X\le5)=3\cdot0{,}1=0{,}3\).
- Einzelwert:\(P(X=4)=\int_4^4 f(x)\,dx=0\) — deshalb ist es bei stetigen Größen egal, ob \(<\) oder \(\le\) steht.
Stetige Zufallsgröße: \(P(a\le X\le b)=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)
Allgemeine Hinweise
Grenzen nur bei stetig egal
Bei einer diskreten Größe ist \(P(X\le5)\ne P(X<5)\). Nur bei stetigen Größen fällt der Randwert nicht ins Gewicht.
Runden macht nicht diskret
Eine auf ganze Zentimeter gerundete Körpergröße bleibt eine gemessene Größe — modelliert wird sie stetig.
f(x) ist keine Wahrscheinlichkeit
Der Funktionswert der Dichte kann größer als 1 sein. Erst die Fläche über einem Intervall ist eine Wahrscheinlichkeit.