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Abituraufgaben: Diskret oder stetig?

Ein Zeiger ohne Felder und ein Akku ohne festes Ende — zwei Situationen, in denen nur Flächen Wahrscheinlichkeiten liefern.

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Ein Glücksrad ohne Felder

AFB I–II

Auf einer Kirmes steht ein Glücksrad ohne Einteilung: Ein Zeiger wird angestoßen und bleibt bei einem zufälligen Winkel \(X\) (in Grad) zwischen 0° und 360° stehen. Jeder Winkel ist gleich wahrscheinlich.

Man gewinnt, wenn der Zeiger zwischen 90° und 150° stehen bleibt. Ein zweites Rad hat sechs gleich große Felder, von denen eines gewinnt.

Glücksrad mit freiem Zeiger
090150180270360Winkel in °f(x)
Dichte des Stoppwinkels; markiert ist der Bereich von 90° bis 150°.
  1. Geben Sie an, ob \(X\) diskret oder stetig ist, und geben Sie die Dichtefunktion an.
  2. Berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit.
  3. Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger genau bei 180° stehen bleibt, null ist.
  4. Vergleichen Sie beide Glücksräder hinsichtlich Art der Zufallsgröße und Gewinnwahrscheinlichkeit.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Der Winkel wird gemessen. Die Dichte ist konstant.
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechteckfläche: Breite mal Höhe.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Breite hat das Intervall \([180;\,180]\)?Mit dem Integral argumentieren.
Hinweis zu Aufgabe d)
Beim Feldrad zählt man die Felder.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(X\) ist stetig, denn jeder Winkel zwischen 0° und 360° ist möglich. Dichte: \(f(x)=\tfrac{1}{360}\) für \(0\le x\le360\), sonst 0 (Fläche \(360\cdot\tfrac1{360}=1\)).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(90\le X\le150)=60\cdot\tfrac1{360}=\tfrac16\approx0{,}167\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(P(X=180)=\int_{180}^{180}\tfrac1{360}\,dx=0\). Das Ereignis ist möglich, hat aber die Wahrscheinlichkeit 0 — bei stetigen Größen haben nur Intervalle positiver Länge positive Wahrscheinlichkeit.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Beim Feldrad ist die Feldnummer diskret (6 Werte, je \(\tfrac16\)), beim freien Rad ist der Winkel stetig. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist bei beiden \(\tfrac16\), weil 60° genau ein Sechstel des Kreises sind — berechnet wird sie aber einmal als Einzelwert, einmal als Fläche.

2

Wie lange hält der Akku?

AFB II–III

Die Lebensdauer \(T\) (in Jahren) eines Akkus wird durch die Dichte \(f(t)=0{,}4\cdot e^{-0{,}4t}\) für \(t\ge0\) beschrieben (für \(t\lt 0\) ist \(f(t)=0\)).

Der Hersteller wirbt: „Die meisten unserer Akkus halten länger als zwei Jahre.“ Ein Händler möchte eine Garantiezeit so festlegen, dass höchstens 10 % der Akkus in der Garantiezeit ausfallen.

Lebensdauer eines Akkus
0,10,20,30,4012345678t in Jahrenf(t)
Dichte der Lebensdauer; markiert ist \(P(T\le2)\).
  1. Weisen Sie nach, dass \(f\) eine Dichtefunktion ist.
  2. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Akku höchstens zwei Jahre hält.
  3. Bewerten Sie die Werbeaussage des Herstellers.
  4. Bestimmen Sie die längste Garantiezeit, die der Händler anbieten kann.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Positivität und Gesamtfläche als uneigentliches Integral.Grenzwert für die obere Grenze gegen unendlich.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Stammfunktion aus a) weiterverwenden.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche das Ergebnis aus b) mit 50 %.Ein Urteil mit Zahl begründen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Gesucht ist \(z\) mit \(P(T\le z)=0{,}1\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f(t)>0\) für \(t\ge0\), da die e-Funktion positiv ist.

\(\int_0^z0{,}4e^{-0{,}4t}\,dt=\left[-e^{-0{,}4t}\right]_0^z=1-e^{-0{,}4z}\to1\) für \(z\to\infty\). Also ist die Gesamtfläche 1.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(T\le2)=1-e^{-0{,}8}\approx0{,}551\). Etwa 55 % der Akkus fallen innerhalb von zwei Jahren aus.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Nur etwa 45 % halten länger als zwei Jahre, also nicht „die meisten“. Die Aussage ist nach dem Modell falsch — der Median liegt bei \(\tfrac{\ln2}{0{,}4}\approx1{,}73\) Jahren.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(1-e^{-0{,}4z}=0{,}1\Rightarrow e^{-0{,}4z}=0{,}9\Rightarrow z=-\tfrac{\ln0{,}9}{0{,}4}\approx0{,}263\) Jahre, also etwa 3 Monate. Eine längere Garantie würde mehr als 10 % Garantiefälle bedeuten.