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Übungen: Stichproben ohne Zurücklegen

Lose, Lieferungen und Umfragen — zehn Übungen dazu, wann Ziehen ohne Zurücklegen trotzdem eine Bernoulli-Kette ist.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen von AFB I bis AFB III: Modelle zuordnen, die Faustregel anwenden und die Güte der Näherung einschätzen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen die gestuften Tipps.

A1
Welches Modell passt?
AFB I

Ordnen Sie die Situationen zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1echte Bernoulli-Kette
2ohne Zurücklegen, Näherung passt
3Binomialmodell ungeeignet
Entscheidend ist der Anteil n : N. Bei 10 von 25 ändert sich der Trefferanteil nach jedem Zug spürbar; bei 80 von 40 000 praktisch nicht.
Ansatz: Wird zurückgelegt? Wenn nein: Wie groß ist n im Vergleich zu N?
Weiter: Faustregel n ≤ 5 % von N.
A2
Blitzrechnung: Faustregel
AFB I

Eine Kleinstadt hat 8000 Wahlberechtigte. Berechnen Sie, wie viele Personen man nach der Faustregel höchstens befragen darf, um mit der Binomialverteilung zu rechnen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(0{,}05\cdot8000=400\). Wer die Stichprobe größer wählt, verlässt die Faustregel — genauere Ergebnisse liefert dann das Modell „ohne Zurücklegen“.
Ansatz: Faustregel: \(n\le0{,}05\cdot N\).
Weiter: 5 % von 8000.
A3
Lückentext: Näherungsmodell
AFB I

Nennen Sie die fehlenden Begriffe — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Bei einer Umfrage wird gezogen. Dadurch ändert sich nach jeder Auswahl der im Rest. Ist die sehr groß im Vergleich zum , bleibt diese Änderung winzig. Dann ist die Anzahl der Treffer binomialverteilt.

„exakt“ bleibt übrig — ohne Zurücklegen ist das Binomialmodell nie exakt, nur eine gute Näherung.
Ansatz: Was passiert beim Befragen mit den schon befragten Personen?
Weiter: N ist die Gesamtheit, n die Stichprobe.
A4
Rechenkette: Glühbirnen
AFB II

Eine Lieferung enthält 500 Glühbirnen, davon 20 defekte. 10 werden ohne Zurücklegen geprüft. Ermitteln Sie die Werte (vier Nachkommastellen).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Trefferwahrscheinlichkeit \(p=\tfrac{K}{N}\)
  2. Binomialmodell: \(P(X=0)\)
  3. Binomialmodell: \(P(X\ge1)\)
  4. exakt (ohne Zurücklegen) ist \(P(X=0)=\tfrac{\binom{480}{10}}{\binom{500}{10}}\approx\) ?
Die Werte unterscheiden sich nur um 0,0025 — bei \(n=10\) und \(N=500\) (2 %) ist die Näherung sehr gut.
Ansatz: \(p=20:500\).
Weiter: \(\binom{480}{10}:\binom{500}{10}\) mit nCr am Rechner.
A5
Situation und Trefferwahrscheinlichkeit
AFB II

Geben Sie zu jeder Situation das \(p\) des Näherungsmodells an.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Trick: \(p=\tfrac KN\) kürzen — die Stichprobengröße spielt für \(p\) keine Rolle.
Ansatz: Treffer in der Gesamtheit durch Gesamtheit teilen.
Weiter: Kürzen erleichtert das Zuordnen.
A6
Wie gut passt das Binomialmodell?
AFB II

Vergleichen Sie die Stichproben und ordnen Sie sie von „passt am besten“ bis „passt am schlechtesten“.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
150 von 100 000
250 von 5000
350 von 1000
450 von 400
550 von 80
Maßgeblich ist \(n:N\): 0,05 %, 1 %, 5 %, 12,5 %, 62,5 %. Bei 50 von 80 fehlen nach der Hälfte der Züge schon die meisten Treffer oder Nieten.
Ansatz: Berechne jeweils den Anteil \(n:N\).
Weiter: Kleiner Anteil = gute Näherung.
A7
Aussagen zum Näherungsmodell
AFB II

Beurteilen Sie die Aussagen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Ohne Zurücklegen streuen die Ergebnisse etwas weniger, weil die Stichprobe einen Teil der Gesamtheit „aufbraucht“. Bei großem N ist der Unterschied winzig — aber nie genau null.
Ansatz: n ist die Stichprobe, N die Gesamtheit.
Weiter: Wird mehr von der Gesamtheit erfasst, schwankt das Ergebnis weniger.
A8
Stimmt's? — Fünferserie
AFB III

Legen Sie für jede Aussage fest, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merksatz: Je größer der erfasste Anteil der Gesamtheit, desto weniger Zufall — im Extremfall der Vollerhebung gar keiner.
Ansatz: Wie groß ist jeweils n : N?
Weiter: Was passiert, wenn man alle befragt?
A9
Fehlersuche: Losbude
AFB III

Überprüfen Sie die Notizen zu einer Losbude (1000 Lose, 150 Gewinne, 10 gekauft) — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten verwechselt: Treffer- und Nietenwahrscheinlichkeit bei „kein Gewinn“.
Ansatz: Prüfe n : N und die Rolle von p und 1 − p.
Weiter: „kein Gewinn“ heißt: jedes Mal eine Niete.
A10
Wie gut ist die Näherung jetzt?
AFB III

Ausgangspunkt: 100 von 20 000 Personen werden befragt. Schätzen Sie ab, wie sich die Güte des Binomialmodells ändert.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = viel schlechter, 2 = schlechter, 3 = gleich, 4 = besser, 5 = viel besser. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = viel schlechter5 = viel besser
Befragt werden 2000 statt 100.
Befragt werden 100 von 200 statt von 20 000.
Die Gesamtheit wächst auf 2 Millionen.
Der Trefferanteil ist 40 % statt 30 %.
Es wird mit Zurücklegen gezogen.
Die Güte hängt am Verhältnis n : N, nicht am Trefferanteil. Mit Zurücklegen ist das Modell sogar exakt.
Ansatz: Berechne jeweils n : N.
Weiter: Der Trefferanteil p ändert die Güte der Näherung kaum.