Wie stark ändert sich p?
Ziehen ohne Zurücklegen verändert die Zusammensetzung des Rests. Wie stark, hängt von der Größe der Grundgesamtheit ab.
- Stichprobe:Bei Umfragen und Kontrollen wird niemand zweimal ausgewählt — es wird ohne Zurücklegen gezogen.
- Folge:Nach jedem Zug ändert sich der Trefferanteil im Rest. Streng genommen liegt keine Bernoulli-Kette vor.
- Beobachtung:Ist die Grundgesamtheit groß, ändert sich \(p\) dabei fast nicht.
Ziehe bis zu zehn Elemente: anklicken oder mit den Pfeiltasten wählen und Enter drücken. Der Zähler zeigt nach jedem Zug den Trefferanteil im Rest. Vergleiche N = 20 mit N = 1000.
Halte fest: Bei N = 20 springt der Anteil nach jedem Zug deutlich, bei N = 1000 bleibt er fast bei 0,3. Dann darf man mit einer Bernoulli-Kette rechnen.
Wann das Binomialmodell passt
Für die Praxis genügt eine einfache Regel.
- Faustregel:Die Stichprobe umfasst höchstens etwa 5 % der Grundgesamtheit: \(n\le0{,}05\cdot N\).
- Modell:Dann ist \(X\) näherungsweise binomialverteilt mit \(p=\frac{K}{N}\) (\(K\): Anzahl der Treffer in der Gesamtheit).
- Vergleich:5 Züge, Anteil 30 %, \(P(X=1)\): bei \(N=20\) exakt \(0{,}3874\), bei \(N=1000\) exakt \(0{,}3607\); Binomialmodell \(0{,}3601\).
Näherungsmodell: \(n\le0{,}05\cdot N\ \Rightarrow\ X\approx B\!\left(n;\tfrac{K}{N}\right)\)
Allgemeine Hinweise
Umfragen und Kontrollen
Wahlumfragen, Qualitätskontrollen einer Tagesproduktion oder Befragungen in einer Großstadt erfüllen die Faustregel fast immer.
Kleine Gesamtheit
Wird aus einer Schulklasse oder einer Kiste mit 20 Teilen gezogen, ist das Binomialmodell ungeeignet — es ergibt spürbar falsche Werte.
n ist nicht N
In \(B(n;p)\) steht der Stichprobenumfang \(n\). Die Größe der Gesamtheit \(N\) steckt nur in \(p=\frac{K}{N}\) und in der Begründung.