Die Losbude beim Schulfest
AFB I–IIBeim Schulfest werden 1000 Lose verkauft, darunter 150 Gewinne. Jonas kauft 10 Lose. \(X\) zählt seine Gewinne.
| Lose gesamt | Gewinne | Nieten | Preis je Los |
|---|---|---|---|
| 1000 | 150 | 850 | 1 € |
- Begründen Sie, dass man \(X\) näherungsweise mit einer Binomialverteilung beschreiben darf, und geben Sie die Parameter an.
- Berechnen Sie mit dem Binomialmodell die Wahrscheinlichkeit, dass Jonas mindestens einen Gewinn hat.
- Vergleichen Sie mit dem exakten Wert \(1-\tfrac{\binom{850}{10}}{\binom{1000}{10}}\).
- Erläutern Sie, warum das Binomialmodell schlechter passt, wenn Jonas 200 Lose kauft.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Es wird ohne Zurücklegen gezogen, aber \(n=10\) ist nur 1 % von \(N=1000\) (≤ 5 %). Der Gewinnanteil ändert sich kaum: \(X\approx B(10;\,0{,}15)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P(X\ge1)=1-0{,}85^{10}\approx0{,}803\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Exakt: \(1-\tfrac{\binom{850}{10}}{\binom{1000}{10}}\approx0{,}805\). Die Abweichung beträgt nur etwa 0,002 — das Binomialmodell ist hier sehr gut.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Dann ist \(n:N=20\,\%\) — nach vielen Zügen hat sich der Gewinnanteil im Rest spürbar verändert. Die Trefferzahl streut ohne Zurücklegen deutlich weniger.
Beispiel: \(P(X\ge40)\) beträgt im Binomialmodell etwa 0,034, exakt aber nur etwa 0,020; die Standardabweichung ist 5,05 statt 4,52.
Umfrage in der Kleinstadt
AFB II–IIIVor einer Bürgermeisterwahl in einer Kleinstadt mit 12 000 Wahlberechtigten will eine Lokalzeitung den Stimmenanteil von Partei B schätzen. Sie befragt 800 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte. Angenommen sei, dass tatsächlich 38 % Partei B wählen.
Für das Ziehen ohne Zurücklegen gilt (ohne Herleitung): Die Standardabweichung ist um den Faktor \(\sqrt{\tfrac{N-n}{N-1}}\) kleiner als im Binomialmodell.
| Wahlberechtigte | Anteil Partei B | Befragte |
|---|---|---|
| 12 000 | 38 % | 800 |
- Überprüfen Sie, ob die Faustregel für das Binomialmodell erfüllt ist.
- Bestimmen Sie \(\mu\) und \(\sigma\) im Binomialmodell sowie die Standardabweichung beim Ziehen ohne Zurücklegen.
- Deuten Sie den Unterschied für ein 95 %-Prognoseintervall der Anzahl der B-Wähler.
- Entwickeln Sie eine Empfehlung für die Zeitung: Stichprobengröße und Rechenmodell.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(0{,}05\cdot12\,000=600\lt 800\): Mit \(n:N\approx6{,}7\,\%\) ist die Faustregel knapp verletzt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\mu=304\); \(\sigma_{\text{bin}}=\sqrt{800\cdot0{,}38\cdot0{,}62}\approx13{,}73\); Faktor \(\sqrt{0{,}9334}\approx0{,}966\), also \(\sigma\approx13{,}26\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Binomial: \(304\pm26{,}9\), ohne Zurücklegen: \(304\pm26{,}0\). Das Binomialmodell liefert ein etwa 3 % breiteres Intervall — es ist also vorsichtig (konservativ); Aussagen werden eher zu zurückhaltend als zu mutig.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Wer sicher im Rahmen der Faustregel bleiben will, befragt höchstens 600 Personen und rechnet binomial. Bei 800 Befragten kann man trotzdem binomial rechnen, weil die Abweichung klein und konservativ ist; noch genauer wäre die korrigierte Standardabweichung. Da die Breite mit \(\tfrac1{\sqrt n}\) sinkt, bringen 800 statt 600 Befragte eine etwa 13 % schmalere Umgebung — der Mehraufwand kann sich lohnen.