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Übungen: Binomial durch Normal nähern

Glocke oder Säulen, plus 0,5 oder minus 0,5 — zehn Übungen, in denen die Näherung erst geprüft und dann gerechnet wird.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen von AFB I bis AFB III: Laplace-Bedingung prüfen, Stetigkeitskorrektur richtig setzen und die Güte der Näherung beurteilen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen die gestuften Tipps.

A1
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Geben Sie an, ob die Aussagen zur Näherung stimmen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merksatz: Gleiche Kenngrößen, σ > 3 und Korrektur um 0,5 — dann ersetzt die Glocke die Säulen.
Ansatz: Wo endet die Säule über k?
Weiter: σ hängt auch von p ab, nicht nur von n.
A2
Laplace-Bedingung erfüllt?
AFB I

Untersuchen Sie, ob die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1erfüllt
2nicht erfüllt
\(B(100;0{,}1)\) hat genau \(\sigma=3\) — die Bedingung verlangt echt größer. \(B(1000;0{,}01)\) schafft es knapp mit \(\sigma\approx3{,}15\), \(B(90;0{,}9)\) knapp nicht mit \(\sigma\approx2{,}85\).
Ansatz: \(\sigma>3\iff n\,p\,(1-p)>9\).
Weiter: Rechne \(n\,p\,(1-p)\) im Kopf und vergleiche mit 9.
A3
Lückentext: Näherung
AFB I

Nennen Sie die fehlenden Begriffe — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die Glocke zur Binomialverteilung hat denselben \(\mu=np\) und dieselbe \(\sigma\). Brauchbar ist die Näherung, wenn die \(\sigma\gt 3\) erfüllt ist. Weil die Säule zu \(k\) von \(k-0{,}5\) bis \(k+0{,}5\) reicht, verschiebt die die Grenze um 0,5 — so wird die ganze erfasst.

„Varianz“ ist \(\sigma^2\); in die Glocke und die Laplace-Bedingung geht \(\sigma\) selbst ein.
Ansatz: Lage und Breite müssen übereinstimmen.
Weiter: Die Korrektur betrifft die Säule am Rand des Intervalls.
A4
Ereignis und Korrektur
AFB II

Ordnen Sie jedem Ereignis die Näherung mit Stetigkeitskorrektur zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Trick: Erst in „≤“ bzw. „≥“ übersetzen (\(X\lt k\iff X\le k-1\)), dann die ganze Randsäule dazunehmen.
Ansatz: Gehört die Säule \(k\) dazu oder nicht?
Weiter: Gehört sie dazu, geht die Grenze um 0,5 nach außen.
A5
Rechenkette: Umfrage mit 150 Personen
AFB II

In einer Stadt nutzen 20 % der Einwohner ein Lastenrad-Sharing. 150 Personen werden befragt; \(X\) zählt die Nutzer. Ermitteln Sie die Werte (vier Nachkommastellen bei Wahrscheinlichkeiten).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. \(\mu\)
  2. \(\sigma\) (zwei Nachkommastellen)
  3. Näherung \(P(X\le25)\approx\Phi(25{,}5)\)
  4. exakter Wert \(P(X\le25)\)
Die Näherung weicht nur um 0,0007 ab. Ohne Korrektur (\(\Phi(25)\approx0{,}1537\)) wäre der Fehler 36-mal so groß.
Ansatz: \(\sigma=\sqrt{150\cdot0{,}2\cdot0{,}8}=\sqrt{24}\).
Weiter: Exakt: binomCdf(150, 0.2, 0, 25).
A6
Mindestens 130
AFB II

\(X\sim B(300;\,0{,}4)\). Berechnen Sie \(P(X\ge130)\) näherungsweise mit der Normalverteilung und Stetigkeitskorrektur (vier Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(\mu=120\), \(\sigma=\sqrt{72}\approx8{,}49\); \(1-\Phi(129{,}5)\approx0{,}1314\) (exakt 0,1316). Wer mit 130,5 rechnet, lässt die Säule 130 weg.
Ansatz: „Mindestens 130“ enthält die Säule 130.
Weiter: Die Säule 130 beginnt bei 129,5.
A7
Näherung Schritt für Schritt
AFB II

Stellen Sie das Vorgehen bei der Normalnäherung von \(P(X\le k)\) in der richtigen Reihenfolge dar.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1\(\mu=np\) und \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\) berechnen
2Laplace-Bedingung \(\sigma\gt 3\) prüfen
3Grenze mit Stetigkeitskorrektur festlegen: \(k+0{,}5\)
4\(\Phi(k+0{,}5)\) mit normCdf berechnen
5Ergebnis im Sachzusammenhang formulieren
Die Prüfung der Laplace-Bedingung kommt vor dem Rechnen — ist sie verletzt, rechnet man gleich exakt mit der Binomialverteilung.
Ansatz: Ohne σ kann man die Bedingung nicht prüfen.
Weiter: Die Korrektur gehört zur Grenze, bevor der Rechner rechnet.
A8
Fehlersuche: Näherung
AFB III

Überprüfen Sie die Rechnung zu \(X\sim B(200;\,0{,}3)\) — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Φ(μ) = 0,5 wäre als Einzelwahrscheinlichkeit völlig falsch. Für einen Einzelwert braucht man die Fläche über einer Säule der Breite 1.
Ansatz: Prüfe σ, die Korrekturrichtung und den Einzelwert.
Weiter: Einzelwert = Fläche von k − 0,5 bis k + 0,5.
A9
Wann passt die Glocke?
AFB III

Beurteilen Sie die Aussagen zur Güte der Näherung.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die Schiefe des Histogramms hängt an p: Je näher p an 0 oder 1, desto größer muss n sein. Auch mit σ > 3 bleibt ein kleiner Fehler.
Ansatz: Denke an die Symmetrie des Histogramms.
Weiter: σ > 3 ist eine Faustregel, kein Beweis.
A10
Besser oder schlechter?
AFB III

Ausgangspunkt ist \(B(100;\,0{,}3)\) mit \(\sigma\approx4{,}6\). Schätzen Sie ab, wie sich die Güte der Normalnäherung ändert.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = viel schlechter, 2 = schlechter, 3 = gleich, 4 = besser, 5 = viel besser. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = viel schlechter5 = viel besser
n = 1000 statt 100
p = 0,03 statt 0,3
p = 0,7 statt 0,3
p = 0,5 statt 0,3
n = 40 statt 100
p und 1 − p liefern gespiegelte Histogramme mit gleicher Güte. Kleines p macht das Histogramm schief, großes n macht es glatt.
Ansatz: Berechne jeweils grob σ.
Weiter: p = 0,7 ergibt dasselbe σ wie p = 0,3.