Glocke über dem Histogramm
Für große \(n\) sieht das Histogramm einer Binomialverteilung wie eine Glocke aus. Dann kann man mit der Normalverteilung nähern.
- Parameter:Zu \(X\sim B(n;p)\) passt die Glockenkurve mit \(\mu=n\cdot p\) und \(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\).
- Einzelwert:\(P(X=k)\approx f(k)\) — die Säulenhöhe wird durch die Kurvenhöhe ersetzt.
- Stetigkeitskorrektur:Die Säule zu \(k\) reicht von \(k-0{,}5\) bis \(k+0{,}5\). Deshalb \(P(X\le k)\approx\Phi(k+0{,}5)\).
Lege die Glockenkurve über das Histogramm. Blende Histogramm, Glocke und die Abweichungen einzeln ein und vergleiche verschiedene n und p.
Halte fest: Je größer σ, desto besser passt die Glocke. Bei kleinem n und p nahe 0 ist das Histogramm schief — die Glocke liegt daneben.
Wann ist die Näherung gut?
Ob die Näherung angemessen ist, entscheidet die Standardabweichung.
- Laplace-Bedingung:Faustregel: Die Näherung ist brauchbar, wenn \(\sigma>3\) gilt.
- Beispiel:\(n=100,\ p=0{,}3\): \(\sigma=\sqrt{21}\approx4{,}58>3\) — Näherung angemessen.
- Vergleich:\(P(X\le25)\): exakt \(0{,}1631\); mit Korrektur \(\Phi(25{,}5)\approx0{,}1631\); ohne Korrektur \(\Phi(25)\approx0{,}1376\).
- Gegenbeispiel:\(n=20,\ p=0{,}1\): \(\sigma\approx1{,}34\) — das Histogramm ist schief, die Näherung ungeeignet.
Näherung für σ > 3: \(P(X\le k)\approx\Phi_{\mu;\sigma}(k+0{,}5)\)
Allgemeine Hinweise
Exakt geht es mit dem Rechner
Mit Bcd bzw. binomCdf rechnet man Binomialwahrscheinlichkeiten exakt. Die Näherung braucht man vor allem für σ-Regeln und Begründungen.
Korrektur in die richtige Richtung
\(P(X\ge k)\approx1-\Phi(k-0{,}5)\), \(P(a\le X\le b)\approx\Phi(b+0{,}5)-\Phi(a-0{,}5)\): Die ganze Randsäule gehört dazu.
Faustregel, kein Gesetz
σ > 3 ist eine Erfahrungsregel. Knapp darüber kann die Näherung noch spürbar abweichen, besonders am Rand der Verteilung.