Wie viele Samen keimen?
AFB I–IIEin Saatguthersteller garantiert eine Keimrate von 90 %. Ein Gärtner sät 400 Samen aus; \(X\) zählt die keimenden Samen. Die Samen keimen unabhängig voneinander.
- Begründen Sie, dass \(X\) näherungsweise normalverteilt ist.
- Berechnen Sie mit der Normalnäherung die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 350 Samen keimen.
- Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem exakten Wert der Binomialverteilung.
- Bestätigen Sie, dass die Dichte \(f(360)\) eine gute Näherung für \(P(X=360)\) ist.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(X\sim B(400;\,0{,}9)\) mit \(\mu=360\), \(\sigma=\sqrt{400\cdot0{,}9\cdot0{,}1}=6\gt 3\). Die Laplace-Bedingung ist erfüllt, also ist die Normalnäherung angemessen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P(X\le350)\approx\Phi(350{,}5)=\text{normCdf}(-\infty,350.5,360,6)\approx0{,}0567\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Exakt: \(P(X\le350)\approx0{,}0601\). Die Näherung ist um etwa 0,003 zu klein — ein relativer Fehler von gut 5 %, weil 350 schon im linken Ausläufer liegt und das Histogramm für \(p=0{,}9\) leicht linksschief ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(f(360)=\tfrac1{6\sqrt{2\pi}}\approx0{,}0665\); exakt \(P(X=360)\approx0{,}0664\). Da die Säule die Breite 1 hat, ist ihre Fläche ungefähr die Kurvenhöhe in der Mitte.
Mehr Karten als Plätze
AFB II–IIIEin Konzertsaal hat 950 Plätze. Erfahrungsgemäß erscheinen 5 % der Kartenbesitzer nicht. Der Veranstalter verkauft deshalb 1000 Karten. Wer eine Karte hat und keinen Platz bekommt, erhält eine Entschädigung.
Der Veranstalter möchte, dass der Saal mit höchstens 5 % Wahrscheinlichkeit überbucht ist. Ein Kritiker wendet ein, dass viele Besucher in Gruppen kommen oder gemeinsam absagen.
- Stellen Sie ein Modell für die Anzahl \(X\) der erscheinenden Besucher auf und prüfen Sie die Laplace-Bedingung.
- Ermitteln Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass der Saal überbucht ist.
- Bestimmen Sie, wie viele Karten höchstens verkauft werden dürfen, damit die Überbuchungswahrscheinlichkeit höchstens 5 % beträgt.
- Beurteilen Sie den Einwand des Kritikers und seine Folgen für das Ergebnis.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(X\sim B(1000;\,0{,}95)\) bei unabhängigem Erscheinen: \(\mu=950\), \(\sigma=\sqrt{47{,}5}\approx6{,}89\gt 3\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P(X\gt 950)=P(X\ge951)\approx1-\Phi(950{,}5)\approx0{,}471\) (exakt 0,480). Fast jedes zweite Konzert wäre überbucht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
| n | 987 | 988 | 989 | 990 |
|---|---|---|---|---|
| Näherung | 0,030 | 0,041 | 0,055 | 0,072 |
| exakt | 0,026 | 0,037 | 0,051 | 0,069 |
Bei 988 Karten liegt die Überbuchungswahrscheinlichkeit bei etwa 4 %, bei 989 schon über 5 %. Es dürfen höchstens 988 Karten verkauft werden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Kommen Gruppen gemeinsam oder sagen gemeinsam ab, sind die Einzelentscheidungen nicht unabhängig — keine Bernoulli-Kette. Die tatsächliche Streuung ist dann größer als \(\sigma\approx6{,}9\); große Abweichungen nach oben werden wahrscheinlicher. Die berechnete Grenze von 988 Karten ist daher zu optimistisch; der Veranstalter sollte vorsichtiger kalkulieren oder Daten zu Gruppenbuchungen auswerten.