Die empirische Varianz: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Der Rechenweg in der richtigen ReihenfolgeAFB I

Ordnen Sie die fünf Arbeitsschritte so, wie sie beim Berechnen der empirischen Varianz nacheinander ausgeführt werden.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1Das arithmetische Mittel \(\bar{x}\) aller Werte bestimmen.

2Zu jedem Wert die Abweichung \(x_i-\bar{x}\) bilden.

3Jede dieser Abweichungen quadrieren.

4Alle quadrierten Abweichungen aufsummieren.

5Die Summe durch den Stichprobenumfang \(n\) teilen.

Die Reihenfolge ist zwingend: Ohne \(\bar{x}\) gibt es keine Abweichungen, ohne Quadrieren heben sich die Abweichungen auf, und ohne die Division durch \(n\) würde die Kennzahl mit jedem zusätzlichen Messwert wachsen.

A2Abweichungen und ihre QuadrateAFB I

Gegeben ist die Messreihe 6 · 10 · 11 · 14 · 19 mit \(n=5\) und \(\bar{x}=12\).

Berechnen Sie zu jedem Wert die Abweichung und die quadrierte Abweichung sowie die beiden Summen.

Zwölf Felder: erst die fünf Abweichungen mit Vorzeichen und ihre Summe, dann die fünf Quadrate und ihre Summe. Enter prüft alles auf einmal.

\(x_i\)	6	10	11	14	19	Summe
\(x_i-\bar{x}\)
\((x_i-\bar{x})^2\)

Die Abweichungen \(-6;\,-2;\,-1;\,2;\,7\) addieren sich zu null, die Quadrate \(36;\,4;\,1;\,4;\,49\) dagegen zu 94. Genau diese Summe wird gleich durch \(n=5\) geteilt: \(\bar{s}^{\,2}=\dfrac{94}{5}=18{,}8\).

A3Eine erste VarianzAFB I

Vier Bauteile wurden vermessen; die Länge \(x\) mit \([x]=\mathrm{cm}\) beträgt 2 · 4 · 6 · 8.

Berechnen Sie die empirische Varianz \(\bar{s}^{\,2}\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

\(\bar{x}=\dfrac{20}{4}=5\,\mathrm{cm}\); Abweichungen \(-3;\,-1;\,1;\,3\); Quadrate \(9;\,1;\,1;\,9\) mit der Summe 20; also \(\bar{s}^{\,2}=\dfrac{20\,\mathrm{cm}^2}{4}=5\,\mathrm{cm}^2\). Beachten Sie die Einheit: Quadratzentimeter, nicht Zentimeter.

A4Den Rechenweg durchspielenAFB I

Wählen Sie in jedem Schritt die richtige Fortsetzung des Rechenwegs.

Wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung. Eine falsche Wahl wird rot, dann probierst du es erneut.

Der Ablauf ist immer derselbe: Mittel → Abweichungen → quadrieren → addieren → durch \(n\) teilen. Die quadrierte Einheit ist der Preis dafür — und der Grund, warum im nächsten Abschnitt noch die Wurzel gezogen wird.

A5Aussagen zur Varianz prüfenAFB I

Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie richtig ist.

Richtig oder falsch? Entscheide bei jeder Aussage. Eine Runde umfasst alle Aussagen.

Aussage 1 von 5

Zwei Merksätze stecken darin: Die Varianz ist nie negativ, und geteilt wird durch \(n\). Der Fall \(\bar{s}^{\,2}=0\) tritt nur bei völlig gleichen Werten ein.

A6Von der Urliste zur VarianzAFB II

In einem Test wurden folgende Punktzahlen erreicht: 4 · 7 · 9 · 12 · 13.

Berechnen Sie Schritt für Schritt bis zur Varianz und zur Standardabweichung.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Wie groß ist die Summe aller fünf Werte?Punkte
Wie groß ist das arithmetische Mittel \(\bar{x}\)?Punkte
Wie groß ist die Summe der quadrierten Abweichungen?Punkte²
Wie groß ist die empirische Varianz \(\bar{s}^{\,2}\)?Punkte²
Wie groß ist die Standardabweichung \(\bar{s}\)? (auf zwei Nachkommastellen)Punkte

Abweichungen \(-5;\,-2;\,0;\,3;\,4\); Quadrate \(25;\,4;\,0;\,9;\,16\) mit der Summe 54. Also \(\bar{s}^{\,2}=\dfrac{54}{5}=10{,}8\) und \(\bar{s}=\sqrt{10{,}8}\approx 3{,}29\). Die Varianz ist größer als jede einzelne Abweichung — das liegt allein am Quadrieren.

A7Varianz aus einer HäufigkeitstabelleAFB II

In 20 Haushalten wurde die Anzahl \(x\) der Fahrräder erfasst. Es gilt \(n=20\) und \(\bar{x}=3\).

Berechnen Sie für jede Zeile das gewichtete Quadrat \((x_i-\bar{x})^2\cdot a_i\), anschließend deren Summe und daraus die Varianz.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

\(x_i\)	\(a_i\)	\(x_i-\bar{x}\)	\((x_i-\bar{x})^2\)
1	3	−2	4
2	4	−1	1
3	6	0	0
4	4	1	1
5	3	2	4
Summe	20
\(\bar{s}^{\,2}\)

Zur Kontrolle des Mittelwerts: \(\dfrac{1\cdot3+2\cdot4+3\cdot6+4\cdot4+5\cdot3}{20}=\dfrac{60}{20}=3\). Die gewichteten Quadrate ergeben in der Summe 32, also \(\bar{s}^{\,2}=\dfrac{32}{20}=1{,}6\). Der Nenner ist die Gesamtzahl der Beobachtungen — nicht die Zahl der verschiedenen Werte.

A8Die Varianz als BruchAFB II

Gegeben ist die Messreihe 1 · 2 · 4 · 5.

Geben Sie die empirische Varianz als vollständig gekürzten Bruch an.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.

\(\bar{x}=\dfrac{12}{4}=3\); Abweichungen \(-2;\,-1;\,1;\,2\); Quadrate \(4;\,1;\,1;\,4\) mit der Summe 10. Also \(\bar{s}^{\,2}=\dfrac{10}{4}=\dfrac52=2{,}5\).

A9Varianz aus relativen HäufigkeitenAFB II

In einer Fußballsaison wurde die Anzahl \(x\) der Tore pro Spiel erfasst:

\(x_i\): 0 | 1 | 2 | 3 — \(h(x_i)\): 20 % | 30 % | 40 % | 10 %

Berechnen Sie die empirische Varianz. Bei relativen Häufigkeiten entfällt die Division, denn sie addieren sich bereits zu 1.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

Zuerst \(\bar{x}=0\cdot0{,}2+1\cdot0{,}3+2\cdot0{,}4+3\cdot0{,}1=1{,}4\). Dann \(\bar{s}^{\,2}=1{,}96\cdot0{,}2+0{,}16\cdot0{,}3+0{,}36\cdot0{,}4+2{,}56\cdot0{,}1=0{,}392+0{,}048+0{,}144+0{,}256=0{,}84\). Wer hier noch einmal durch 4 teilt, hat die relativen Häufigkeiten doppelt berücksichtigt.

A10Was gilt für die Varianz?AFB II

Betrachtet wird unter anderem der Datensatz 10 · 20 · 30.

Wählen Sie alle zutreffenden Aussagen aus.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

\(\bar{x}=20\); Quadrate \(100;\,0;\,100\); Summe 200; \(\bar{s}^{\,2}=\dfrac{200}{3}\). Beim Verdoppeln verdoppeln sich alle Abweichungen, ihre Quadrate vervierfachen sich also. Das Addieren einer festen Zahl verschiebt dagegen alle Werte gleich weit und lässt jede Abweichung unverändert.

A11Neun Datensätze, drei VarianzenAFB II

Berechnen Sie zu jedem Datensatz die empirische Varianz und sortieren Sie die Karte in den passenden Korb.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Varianz 0

2Varianz 1,25

3Varianz 5

Jeder Datensatz hat vier Werte. Bei lauter gleichen Werten ist jede Abweichung null. Bei Schrittweite 1 lauten die Abweichungen \(-1{,}5;\,-0{,}5;\,0{,}5;\,1{,}5\) ⇒ \(\dfrac{5}{4}=1{,}25\); bei Schrittweite 2 verdoppeln sich alle Abweichungen, die Quadrate vervierfachen sich ⇒ \(4\cdot1{,}25=5\). Die Lage der Werte spielt dabei keine Rolle — nur ihre Abstände.

A12Welche Einheit trägt welche Größe?AFB II

Betrachtet wird die Fahrzeit \(x\) mit \([x]=\mathrm{min}\). Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz.

Klicke in jeder Zeile die Zelle an, die zutrifft. Ein zweiter Klick nimmt die Markierung zurück.

Größe	\(\mathrm{min}\)	\(\mathrm{min}^2\)	ohne Einheit
arithmetisches Mittel \(\bar{x}\)
Abweichung \(x_i-\bar{x}\)
quadrierte Abweichung \((x_i-\bar{x})^2\)
Summe der quadrierten Abweichungen
empirische Varianz \(\bar{s}^{\,2}\)
empirische Standardabweichung \(\bar{s}\)
Stichprobenumfang \(n\)
Spannweite \(\mathrm{Sw}\)

Alles, was aus einer Differenz von Messwerten entsteht, trägt die Einheit des Merkmals; alles, was quadriert wurde, trägt deren Quadrat. Der Stichprobenumfang zählt nur und ist deshalb einheitenlos. Die Division durch \(n\) ändert an der Einheit nichts — deshalb bleibt auch \(\bar{s}^{\,2}\) bei \(\mathrm{min}^2\).

A13Fehler in der VarianzrechnungAFB II

Berechnet werden soll die empirische Varianz von 3 · 6 · 8 · 11.

Markieren Sie genau die Zeilen, die falsch sind.

In dieser Rechnung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Drei Zeilen sind falsch, und sie treffen genau die drei häufigsten Fehler: nicht quadrieren, durch \(n-1\) statt durch \(n\) teilen und die Einheit nicht mitquadrieren.

A14Fünf Kennzahlen einer MessreiheAFB II

In einem Kurs wurden folgende Punktzahlen erreicht: 12 · 15 · 18 · 21 · 24.

Berechnen Sie die fünf Kennzahlen. Die Standardabweichung auf zwei Nachkommastellen.

Trage alle Werte ein. Enter prüft alle Felder auf einmal.

arithmetisches Mittel \(\bar{x}\)Summe der quadrierten Abweichungenempirische Varianz \(\bar{s}^{\,2}\)empirische Standardabweichung \(\bar{s}\)Spannweite \(\mathrm{Sw}\)

\(\bar{x}=\dfrac{90}{5}=18\); Abweichungen \(-6;\,-3;\,0;\,3;\,6\); Quadrate \(36;\,9;\,0;\,9;\,36\) mit der Summe 90; \(\bar{s}^{\,2}=\dfrac{90}{5}=18\) und \(\bar{s}=\sqrt{18}\approx 4{,}24\). Dass Summe und Varianz hier beide 18 ergeben, ist Zufall der gewählten Zahlen — kein Rechengesetz.

A15Datensatz und Varianz verbindenAFB II

Berechnen Sie zu jedem Datensatz die empirische Varianz und verbinden Sie ihn mit dem passenden Wert.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Bei zwei Werten ist jede Abweichung die halbe Differenz: \(\bar{s}^{\,2}=\left(\frac{8-4}{2}\right)^2=4\) bzw. \(\left(\frac{3-1}{2}\right)^2=1\). Bei 2 · 5 · 8 · 9 ist \(\bar{x}=6\) und die Quadratsumme \(16+1+4+9=30\), also \(\dfrac{30}{4}=7{,}5\).

A16Varianzen prüfen und berichtigenAFB III

Sechs Rechnungen, einige davon falsch. Markieren Sie die falschen Zeilen und tragen Sie jeweils die richtige Varianz ein (Dezimalzahl).

Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf. Geprüft wird beides: die markierten Zeilen und deine Korrekturen.

Zeile 3: \(\bar{x}=3\), Quadrate \(9+9=18\), also \(\dfrac{18}{2}=9\) — nicht die Differenz selbst. Zeile 4: Alle Werte gleich ⇒ Varianz null. Zeile 6: \(\bar{x}=12\), Quadrate \(4+4=8\), also \(\dfrac{8}{2}=4\) — hier wurde die Differenz 4 quadriert statt die Abweichungen.

A17Der fehlende vierte WertAFB III

Ein Datensatz besteht aus vier Werten mit \(\bar{x}=10\) und \(\bar{s}^{\,2}=7{,}5\). Drei der Werte lauten 6, 9 und 12.

Bestimmen Sie den vierten Wert.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft direkt.

Aus \(\bar{x}=10\) und \(n=4\) folgt für die Summe \(4\cdot 10=40\), also \(x_4=40-(6+9+12)=13\). Probe über die Varianz: Abweichungen \(-4;\,-1;\,2;\,3\), Quadrate \(16;\,1;\,4;\,9\) mit der Summe 30, und \(\dfrac{30}{4}=7{,}5\) — stimmt. Der Mittelwert allein legt den fehlenden Wert schon fest; die Varianz dient hier als Kontrolle.

A18Varianz nach einer UmskalierungAFB III

Ein Datensatz hat die empirische Varianz \(v\). Jeder einzelne Wert wird nun mit 4 multipliziert und anschließend um 7 erhöht.

Geben Sie die Varianz des neuen Datensatzes als Term in \(v\) an.

Gib den Term in v ein. Malzeichen darfst du weglassen, ^ steht für Potenzen. Enter prüft.

Aus \(x_i\) wird \(4x_i+7\), aus \(\bar{x}\) wird \(4\bar{x}+7\). Die Abweichung geht damit in \((4x_i+7)-(4\bar{x}+7)=4(x_i-\bar{x})\) über — die 7 fällt heraus. Quadriert ergibt das den Faktor \(4^2=16\), also \(16v\). Merke: Verschieben ändert die Streuung nicht, Strecken wirkt quadratisch.

A19Den Merksatz vervollständigenAFB III

Wählen Sie in jedem Menü den passenden Eintrag, sodass ein durchgehend richtiger Text entsteht.

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.

Bei der empirischen Varianz werden die Abweichungen vom arithmetischen Mittel zuerst , weil ihre Summe sonst stets wäre. Anschließend wird durch geteilt. Trägt das Merkmal die Einheit Euro, so hat \(\bar{s}^{\,2}\) die Einheit und \(\bar{s}\) die Einheit . Verdoppelt man jeden einzelnen Wert, so wird die Varianz .

Die sechs Lücken fassen den ganzen Abschnitt zusammen: quadrieren — weil die Summe sonst null ist — durch \(n\) teilen — quadrierte Einheit — Wurzel bringt die Einheit zurück — Strecken wirkt quadratisch.

A20Die Definition zusammensetzenAFB III

Setzen Sie die fünf passenden Bausteine zu einer korrekten Beschreibung der empirischen Varianz zusammen. Drei Bausteine bleiben übrig.

Setze die Bausteine von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt einen Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück.

Die drei übrigen Bausteine sind genau die drei Verwechslungen: Beträge statt Quadrate, Median statt arithmetisches Mittel und \(n-1\) statt \(n\).

Übungen: Die empirische Varianz

Übungsaufgaben