Abweichungen quadrieren
Die Abweichungen vom Mittelwert heben sich in der Summe auf. Deshalb werden sie quadriert.
- Fahrzeiten:28 · 33 · 37 · 30 · 35 · 53 · 38 · 32 · 29 · 36 (in min), \(\bar x = 35{,}1\,\mathrm{min}\).
- Abweichung:\(x_i - \bar x\); die Summe aller Abweichungen ist immer 0.
- Quadrieren:\((x_i - \bar x)^2 \ge 0\), die Vorzeichen löschen sich nicht mehr aus.
- Anschaulich:Flächeninhalt eines Quadrats mit der Kantenlänge \(|x_i - \bar x|\).
- Ausreißer:53 min liegt etwa 2,5-mal so weit weg wie 28 min, sein Quadrat ist über 6-mal so groß.
| Wert \(x_i\) in min | Abweichung \(x_i - \bar x\) in min | Quadrat \((x_i - \bar x)^2\) in min\(^2\) |
|---|---|---|
| 28 | -7,1 | 50,41 |
| 33 | -2,1 | 4,41 |
| 37 | 1,9 | 3,61 |
| 30 | -5,1 | 26,01 |
| 35 | -0,1 | 0,01 |
| 53 | 17,9 | 320,41 |
| 38 | 2,9 | 8,41 |
| 32 | -3,1 | 9,61 |
| 29 | -6,1 | 37,21 |
| 36 | 0,9 | 0,81 |
| Summe | 0 | 460,9 |
Quadrierte Abweichung: \((x_i - \bar x)^2 \ge 0\)
Die empirische Varianz
Die Varianz ist die mittlere quadratische Abweichung vom arithmetischen Mittel.
- 1. Mittelwert:\(\bar x = \dfrac{351\,\mathrm{min}}{10} = 35{,}1\,\mathrm{min}\).
- 2. Abweichungen:zu jedem Wert \(x_i - \bar x\) bilden.
- 3. Quadrieren, addieren:Summe der Quadrate \(460{,}9\,\mathrm{min}^2\).
- 4. Durch \(n\) teilen:\(\bar s^{\,2} = \dfrac{460{,}9\,\mathrm{min}^2}{10} = 46{,}09\,\mathrm{min}^2\).
Empirische Varianz: \(\bar s^{\,2} = \dfrac{(x_1 - \bar x)^2 + (x_2 - \bar x)^2 + \dots + (x_n - \bar x)^2}{n}\)
Verschiebe die fünf Werte. Über jedem Wert steht das Quadrat seiner Abweichung; Quadratsumme und Varianz laufen mit.
Quadrate der Abweichungen
Ein Wert weit draußen lässt sein Quadrat sehr schnell wachsen, ein Wert dicht am Mittel trägt kaum etwas bei. Beim Verschieben wandert außerdem der Mittelwert mit, sodass sich alle übrigen Quadrate ebenfalls ändern.
MesswertQuadrat der Abweichungarithmetisches Mittel
- Schritt 1Mittelwert bestimmen
- Schritt 2Abweichungen bilden
- Schritt 3quadrieren und aufsummieren
- Schritt 4durch n teilen
Das Applet wird geladen.
Bedienung mit der Maus: einen Punkt anfassen und waagerecht verschieben. Bedienung mit der Tastatur: mit Tab in die Zeichnung springen, mit ← und → den ausgewählten Punkt wechseln, mit ↑ und ↓ seinen Wert um 1 vergrößern oder verkleinern und mit Enter den nächsten Rechenschritt einblenden.
Halte fest: Liegen die Punkte dicht zusammen, geht die Varianz gegen 0. Ein einziger weit entfernter Punkt vervielfacht sie.
Varianz aus Häufigkeiten
Bei einer Häufigkeitstabelle gewichtest du jede quadrierte Abweichung mit der Häufigkeit ihres Wertes.
- Absolute Häufigkeiten:\(\bar s^{\,2} = \dfrac{(x_1 - \bar x)^2 \cdot a_1 + \dots + (x_m - \bar x)^2 \cdot a_m}{a_1 + \dots + a_m}\).
- Relative Häufigkeiten:keine Division, denn die \(h(x_i)\) ergeben zusammen 1.
- Beispiel:Taschengeld mit \(\bar x = 37{,}55\,\mathrm{Euro}\) ergibt \(\bar s^{\,2} = 38{,}7475\,\mathrm{Euro}^2\).
- Großer Beitrag:große Abweichung und große Häufigkeit, hier 30 € mit 28 %.
- Einheit:wird mitquadriert: \([\bar s^{\,2}] = \mathrm{min}^2\) bzw. \(\mathrm{Euro}^2\).
- Ausblick:die Wurzel \(\bar s = \sqrt{\bar s^{\,2}}\) hat wieder die Einheit des Merkmals, z. B. \(\bar s \approx 6{,}789\,\mathrm{min}\).
| Taschengeld in € | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| relative Häufigkeit | 28 % | 21 % | 32 % | 10 % | 9 % |
Varianz aus relativen Häufigkeiten: \(\bar s^{\,2} = (x_1 - \bar x)^2 \cdot h(x_1) + \dots + (x_m - \bar x)^2 \cdot h(x_m)\)
Allgemeine Hinweise
Durch \(n\) teilen
Die empirische Varianz teilt durch den Stichprobenumfang \(n\). Bei absoluten Häufigkeiten ist das \(a_1 + \dots + a_m\).
Quadrierte Einheit
Die Varianz hat die Einheit \(\mathrm{min}^2\) oder \(\mathrm{Euro}^2\). Vergleiche sie nicht direkt mit den Messwerten.
Kontrolle über die Summe
Schreibe Wert, Abweichung und Quadrat in Spalten. Die Abweichungsspalte muss zusammen 0 ergeben.
Videos
Zwei kurze Erklärvideos zu diesem Unterkapitel — eines für die Idee, eines für das Rechnen. Sie starten erst, wenn du sie anklickst.
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