Textaufgaben: Die empirische Varianz

\(\bar x = \dfrac{26 + 30 + 22 + 34 + 28 + 24 + 32 + 28}{8}\,\mathrm{Punkte} = \dfrac{224\,\mathrm{Punkte}}{8} = 28\,\mathrm{Punkte}\).

Im Mittel wurden also 28 der 40 möglichen Punkte erreicht.

Die Abweichungen und ihre Quadrate lauten:

\(26-28 = -2 \Rightarrow 4\); \(30-28 = 2 \Rightarrow 4\); \(22-28 = -6 \Rightarrow 36\); \(34-28 = 6 \Rightarrow 36\); \(28-28 = 0 \Rightarrow 0\); \(24-28 = -4 \Rightarrow 16\); \(32-28 = 4 \Rightarrow 16\); \(28-28 = 0 \Rightarrow 0\).

Summe der quadrierten Abweichungen: \(4+4+36+36+0+16+16+0 = 112\).

\(\bar s^{\,2} = \dfrac{112\,\mathrm{Punkte}^2}{8} = 14\,\mathrm{Punkte}^2\).

Die Einheit ist \(\mathrm{Punkte}^2\), denn beim Quadrieren der Abweichungen wird auch deren Einheit quadriert: \([\bar s^{\,2}] = \mathrm{Punkte}^2\).

Ein großer Wert von \(\bar s^{\,2}\) bedeutet, dass die Punktzahlen im Mittel weit vom Durchschnitt 28 Punkte entfernt liegen, die Lerngruppe also sehr unterschiedlich abgeschnitten hat — mit sehr starken und sehr schwachen Ergebnissen nebeneinander. Ein kleiner Wert bedeutet umgekehrt, dass fast alle nahe am Durchschnitt liegen und die Gruppe leistungsmäßig einheitlich ist. Weil jede Abweichung quadriert wird, schlägt dabei ein einzelnes sehr schwaches oder sehr starkes Ergebnis besonders stark durch.

\(\bar x = \dfrac{1\cdot 5 + 2\cdot 12 + 3\cdot 16 + 4\cdot 12 + 5\cdot 5}{50}\,\mathrm{Tage} = \dfrac{5 + 24 + 48 + 48 + 25}{50}\,\mathrm{Tage} = \dfrac{150\,\mathrm{Tage}}{50} = 3\,\mathrm{Tage}\).

Die gewichteten quadrierten Abweichungen sind \((1-3)^2\cdot 5 = 20\); \((2-3)^2\cdot 12 = 12\); \((3-3)^2\cdot 16 = 0\); \((4-3)^2\cdot 12 = 12\); \((5-3)^2\cdot 5 = 20\), zusammen \(20+12+0+12+20 = 64\).

\(\bar s^{\,2} = \dfrac{64\,\mathrm{Tage}^2}{50} = 1{,}28\,\mathrm{Tage}^2\).

Die relativen Häufigkeiten sind \(h(1) = \dfrac{5}{50} = 0{,}10\); \(h(2) = \dfrac{12}{50} = 0{,}24\); \(h(3) = \dfrac{16}{50} = 0{,}32\); \(h(4) = 0{,}24\); \(h(5) = 0{,}10\). Ihre Summe ist \(0{,}10+0{,}24+0{,}32+0{,}24+0{,}10 = 1{,}00\).

\(\bar s^{\,2} = (1-3)^2\cdot 0{,}10 + (2-3)^2\cdot 0{,}24 + (3-3)^2\cdot 0{,}32 + (4-3)^2\cdot 0{,}24 + (5-3)^2\cdot 0{,}10\)

\(= 0{,}40 + 0{,}24 + 0 + 0{,}24 + 0{,}40 = 1{,}28\,\mathrm{Tage}^2\).

Beide Wege führen zu \(1{,}28\,\mathrm{Tage}^2\). Das war zu erwarten, denn die Division durch \(n\) ist im Nenner der relativen Häufigkeiten bereits enthalten: \(\dfrac{(x_i-\bar x)^2 a_i}{n} = (x_i-\bar x)^2\cdot h(x_i)\).

Die Varianz trägt die quadrierte Einheit des Merkmals, hier also \(\mathrm{Tage}^2\). Die Aussage „die Lieferzeiten streuen um \(1{,}28\,\mathrm{Tage}^2\)“ lässt sich nicht neben die Messwerte stellen, denn diese sind in Tagen angegeben; Quadrattage sind keine Größe, die eine Kundin sich vorstellen könnte. Erst die Wurzel \(\bar s = \sqrt{1{,}28\,\mathrm{Tage}^2}\approx 1{,}13\,\mathrm{Tage}\) führt zurück in die Einheit der Daten.

Die Werbeaussage nennt nur den Mittelwert. Er ist richtig, sagt aber nichts darüber, wie verlässlich die drei Tage sind: Nur 16 der 50 Bestellungen, also \(32\,\%\), wurden tatsächlich nach genau drei Tagen geliefert; 5 Bestellungen brauchten fünf Tage. Wer knapp plant — etwa ein Geschenk zum Wochenende —, muss gerade diese Streuung kennen. Zur vollständigen Information gehört deshalb neben dem Mittelwert ein Streuungsmaß, sinnvollerweise in der Einheit Tage.

\(\bar x = \dfrac{14+15+17+19+20}{5}\,\mathrm{Euro} = \dfrac{85\,\mathrm{Euro}}{5} = 17\,\mathrm{Euro}\).

Abweichungen: \(-3\); \(-2\); \(0\); \(2\); \(3\); Quadrate: \(9\); \(4\); \(0\); \(4\); \(9\) mit der Summe \(26\).

\(\bar s^{\,2} = \dfrac{26\,\mathrm{Euro}^2}{5} = 5{,}2\,\mathrm{Euro}^2\).

Variante 1 (\(+1{,}50\) Euro): Die neuen Löhne sind 15,50; 16,50; 18,50; 20,50 und 21,50 Euro mit der Summe 92,50 Euro, also \(\bar x = \dfrac{92{,}50\,\mathrm{Euro}}{5} = 18{,}50\,\mathrm{Euro}\). Die Abweichungen lauten wieder \(-3\); \(-2\); \(0\); \(2\); \(3\), damit ist \(\bar s^{\,2} = \dfrac{26\,\mathrm{Euro}^2}{5} = 5{,}2\,\mathrm{Euro}^2\) — unverändert.

Variante 2 (\(\cdot\,1{,}05\)): Die neuen Löhne sind 14,70; 15,75; 17,85; 19,95 und 21,00 Euro mit der Summe 89,25 Euro, also \(\bar x = \dfrac{89{,}25\,\mathrm{Euro}}{5} = 17{,}85\,\mathrm{Euro} = 1{,}05\cdot 17\,\mathrm{Euro}\). Die Abweichungen sind \(-3{,}15\); \(-2{,}10\); \(0\); \(2{,}10\); \(3{,}15\), ihre Quadrate \(9{,}9225\); \(4{,}41\); \(0\); \(4{,}41\); \(9{,}9225\) mit der Summe \(28{,}665\). Damit ist \(\bar s^{\,2} = \dfrac{28{,}665\,\mathrm{Euro}^2}{5} = 5{,}733\,\mathrm{Euro}^2\), also genau \(1{,}05^2 = 1{,}1025\) mal so groß wie vorher.

Addition einer Konstanten \(c\): Aus den Werten \(x_i\) werden \(x_i + c\). Für den Mittelwert gilt \(\dfrac{\sum (x_i + c)}{n} = \dfrac{\sum x_i + n c}{n} = \bar x + c\). Jede einzelne Abweichung bleibt deshalb unverändert:

\((x_i + c) - (\bar x + c) = x_i - \bar x\).

Da sich keine der quadrierten Abweichungen ändert, bleibt auch die Varianz gleich: \(\bar s^{\,2}_{\text{neu}} = \bar s^{\,2}\). Anschaulich wird der ganze Datensatz nur verschoben, seine innere Streuung bleibt dieselbe.

Multiplikation mit einem Faktor \(k\): Aus den Werten \(x_i\) werden \(k\cdot x_i\), der Mittelwert wird \(k\cdot\bar x\). Für die Abweichungen gilt \(k x_i - k\bar x = k(x_i - \bar x)\), für die Quadrate also \(k^2 (x_i - \bar x)^2\). Damit ist

\(\bar s^{\,2}_{\text{neu}} = \dfrac{\sum k^2 (x_i - \bar x)^2}{n} = k^2\cdot\bar s^{\,2}\).

Die Varianz wird mit \(k^2\) multipliziert, hier also mit \(1{,}05^2 = 1{,}1025\): \(5{,}2\cdot 1{,}1025 = 5{,}733\), was mit b) übereinstimmt. Für den Betrieb bedeutet das: Variante 1 lässt die Lohnunterschiede genau so groß wie zuvor, Variante 2 vergrößert sie.

\(\bar x = \dfrac{19{,}8 + 19{,}9 + 20{,}0 + 20{,}2 + 20{,}6}{5}\,\mathrm{mm} = \dfrac{100{,}5\,\mathrm{mm}}{5} = 20{,}1\,\mathrm{mm}\).

Abweichungen (in mm): \(-0{,}3\); \(-0{,}2\); \(-0{,}1\); \(0{,}1\); \(0{,}5\). Ihre Quadrate: \(0{,}09\); \(0{,}04\); \(0{,}01\); \(0{,}01\); \(0{,}25\) mit der Summe \(0{,}40\).

\(\bar s^{\,2} = \dfrac{0{,}40\,\mathrm{mm}^2}{5} = 0{,}08\,\mathrm{mm}^2\).

Abweichungen vom Sollmaß \(20{,}0\,\mathrm{mm}\): \(-0{,}2\); \(-0{,}1\); \(0\); \(0{,}2\); \(0{,}6\) (in mm). Ihre Quadrate: \(0{,}04\); \(0{,}01\); \(0\); \(0{,}04\); \(0{,}36\) mit der Summe \(0{,}45\).

\(\dfrac{0{,}45\,\mathrm{mm}^2}{5} = 0{,}09\,\mathrm{mm}^2\).

Die mittlere quadratische Abweichung vom Sollmaß ist mit \(0{,}09\,\mathrm{mm}^2\) größer als die Varianz \(0{,}08\,\mathrm{mm}^2\). Die Differenz beträgt \(0{,}01\,\mathrm{mm}^2\) — genau das Quadrat des Abstands zwischen Mittelwert und Sollmaß, denn \((20{,}1 - 20{,}0)^2 = 0{,}01\).

Herleitung. Mit \(x_i - c = (x_i - \bar x) + (\bar x - c)\) folgt

\((x_i - c)^2 = (x_i - \bar x)^2 + 2(x_i - \bar x)(\bar x - c) + (\bar x - c)^2\).

Summiert man über alle \(i\) und teilt durch \(n\), so ergibt der erste Summand \(\bar s^{\,2}\) und der letzte \((\bar x - c)^2\), da er nicht von \(i\) abhängt. Der mittlere Summand verschwindet, denn \((\bar x - c)\) ist ein fester Faktor und \(\sum (x_i - \bar x) = 0\). Insgesamt gilt also

\(\dfrac{1}{n}\sum (x_i - c)^2 = \bar s^{\,2} + (\bar x - c)^2\).

Beurteilung. Die Aussage des Qualitätsbeauftragten ist falsch. Die Varianz misst die Streuung um den eigenen Mittelwert der Stichprobe, nicht um das Sollmaß. Ein Sollmaß kommt in ihrer Definition überhaupt nicht vor: Eine Maschine, die alle Bolzen exakt gleich, aber durchweg 2 mm zu dick fertigt, hätte die Varianz \(0\,\mathrm{mm}^2\) und wäre trotzdem falsch eingestellt.

Die Herleitung zeigt zugleich, wie die richtige Kennzahl aussieht: Die mittlere quadratische Abweichung vom Sollmaß setzt sich additiv aus zwei Anteilen zusammen — der zufälligen Streuung \(\bar s^{\,2}\) und dem Quadrat der systematischen Abweichung \((\bar x - c)^2\). Hier sind das \(0{,}08\,\mathrm{mm}^2 + 0{,}01\,\mathrm{mm}^2 = 0{,}09\,\mathrm{mm}^2\). Weil \((\bar x - c)^2 \ge 0\) ist, wird sie niemals kleiner als die Varianz; sie ist genau dann gleich, wenn der Mittelwert das Sollmaß trifft. Für die Qualitätssicherung folgt daraus, dass beide Größen getrennt zu überwachen sind: die Lage des Mittelwerts (Justierung der Maschine) und die Streuung (Zustand von Werkzeug und Führung).

Wegen \(1\,\mathrm{cm} = 10\,\mathrm{mm}\) gilt \(1\,\mathrm{cm}^2 = 100\,\mathrm{mm}^2\) und damit

\(0{,}09\,\mathrm{cm}^2 = 0{,}09\cdot 100\,\mathrm{mm}^2 = 9\,\mathrm{mm}^2\).

Betrieb B hat also die Varianz \(9\,\mathrm{mm}^2\), Betrieb A dagegen nur \(2{,}25\,\mathrm{mm}^2\) — das Vierfache statt eines Bruchteils. In der Einheit der Messwerte ausgedrückt: \(\sqrt{2{,}25\,\mathrm{mm}^2} = 1{,}5\,\mathrm{mm}\) gegenüber \(\sqrt{9\,\mathrm{mm}^2} = 3\,\mathrm{mm}\). Betrieb B streut doppelt so stark wie Betrieb A und arbeitet damit ungenauer. Die Schlussfolgerung des Berichts ist also genau verkehrt herum.

Auch die zweite Aussage ist nicht haltbar. Die Zahlen 49 und 36 tragen verschiedene Einheiten, nämlich \(\mathrm{cm}^2\) und \(\mathrm{kg}^2\). Zwei Größen mit verschiedenen Einheiten lassen sich nicht der Größe nach vergleichen; die Aussage „49 ist mehr als 36“ hat hier keine inhaltliche Bedeutung.

Das zeigt schon eine andere Wahl der Einheit: Gibt man die Massen in Gramm an, so wird aus \(\bar s = 6\,\mathrm{kg}\) der Wert \(6\,000\,\mathrm{g}\) und aus der Varianz \(36\,\mathrm{kg}^2\) der Wert \(36\,000\,000\,\mathrm{g}^2\) — plötzlich würden nach derselben Logik die Massen weit stärker streuen. An der tatsächlichen Streuung hat sich dabei nichts geändert, nur an der Maßeinheit.

Sinnvoll ist der Vergleich erst als relative Angabe: Bei einer mittleren Körpergröße von etwa 175 cm entspricht \(\bar s = \sqrt{49\,\mathrm{cm}^2} = 7\,\mathrm{cm}\) einem Anteil von \(\dfrac{7}{175} = 4\,\%\), bei einer mittleren Masse von etwa 75 kg entspricht \(\bar s = \sqrt{36\,\mathrm{kg}^2} = 6\,\mathrm{kg}\) einem Anteil von \(\dfrac{6}{75} = 8\,\%\). Relativ zur jeweiligen Größenordnung streuen die Massen also stärker — das Gegenteil der Behauptung.

Drei Anforderungen sind aus den beiden Fehlern abzuleiten.

Erstens müssen alle Werte, die verglichen werden sollen, in derselben Einheit angegeben sein. Der Vergleich der Betriebe A und B ist erst nach der Umrechnung auf \(\mathrm{mm}^2\) sinnvoll; dass 0,09 kleiner aussieht als 2,25, ist ein reiner Effekt der Einheitenwahl und in einem Bericht besonders irreführend, weil er wie ein Qualitätsvorsprung wirkt.

Zweitens sollte statt der Varianz besser die Standardabweichung \(\bar s = \sqrt{\bar s^{\,2}}\) berichtet werden. Sie trägt die Einheit des Merkmals, lässt sich unmittelbar neben Mittelwert und Toleranz stellen und macht Größenunterschiede ehrlicher sichtbar: 1,5 mm gegenüber 3 mm ist sofort lesbar, \(2{,}25\,\mathrm{mm}^2\) gegenüber \(9\,\mathrm{mm}^2\) dagegen nicht.

Drittens lässt sich die Streuung verschiedener Merkmale überhaupt nur relativ vergleichen, also im Verhältnis zum jeweiligen Mittelwert. Ein Bericht, der Körpergrößen und Massen nebeneinanderstellen will, muss diesen Bezug herstellen; sonst vergleicht er Zentimeter mit Kilogramm.

Insgesamt sind beide Aussagen des Berichts zurückzuweisen. Sie sind nicht nur ungenau, sondern kehren die tatsächlichen Verhältnisse jeweils um — und beide Male ist die Ursache dieselbe: Die Varianz trägt eine quadrierte Einheit, und quadrierte Einheiten reagieren auf einen Einheitenwechsel viel stärker, als man erwartet.