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Übungen: Stichprobenumfang und Spannweite

Zwanzig Aufgaben zum Abzählen und zum Rechnen: Stichprobenumfang bestimmen, Spannweiten berechnen, Reihen vergleichen und Messreihen selbst zusammenstellen.

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Ü

Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben rund um die beiden ersten Kennzahlen einer Messreihe. Der Stichprobenumfang \(n\) wird abgezählt, die Spannweite \(S_w = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}\) wird gerechnet — und genau dieser Unterschied wird hier immer wieder von einer anderen Seite beleuchtet: aus Tabellen, aus Häufigkeitsverteilungen, aus Diagrammen, mit Einheiten, rückwärts gerechnet und an selbst gebauten Messreihen. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken weiter auf.

1Den Stichprobenumfang abzählenAFB I

Ein Fahrradcomputer hat die Länge jeder Fahrt einer Woche gespeichert.

Länge der Fahrradfahrten einer Woche — alle Werte in Kilometern
Messreihe1.2.3.4.5.6.7.8.9.
Zeile 112715921718119
Zeile 21472591216720
Zeile 3101371922915

Bestimmen Sie den Stichprobenumfang \(n\) dieser Messreihe.

Trage die Anzahl aller Messwerte ein. Enter prüft.
Zeile für Zeile abzählen: \(9 + 8 + 7 = 24\). Gezählt wird jeder erhobene Messwert; dass die 7 viermal und die 9 dreimal auftritt, ändert daran nichts — \(n\) ist keine Anzahl verschiedener Werte.
2Drei Messreihen, sechs KennzahlenAFB I

Bestimmen Sie für jede der drei Messreihen den Stichprobenumfang \(n\) und die Spannweite \(S_w\). Tragen Sie bei \(S_w\) nur die Zahl ohne Einheit ein.

Sechs Felder, ein Prüfen-Klick. Enter prüft ebenfalls.
MessreiheWerte\(n\)\(S_w\)
A — Niederschlag in mm4; 11; 7; 0; 9; 3; 12; 5
B — Punkte im Test14; 9; 20; 17; 9; 11; 20; 6; 15; 12; 18; 9
C — Körpergröße in cm162; 171; 158; 175; 169; 166
A: \(12-0=12\) (die 0 ist ein Messwert und zugleich der kleinste Wert!). B: \(20-6=14\); die 20 kommt zweimal vor, für \(S_w\) zählt sie trotzdem nur als größter Wert. C: \(175-158=17\).
3Richtig oder falsch?AFB I

Entscheiden Sie für jede Aussage, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen zu \(n\) und \(S_w\).
Aussage 1 von 5

Zwei der fünf Aussagen sind falsch. Beide verwechseln, was gezählt und was gerechnet wird.
4Die Spannweite Schritt für SchrittAFB II

Betrachtet wird noch einmal die Messreihe der Fahrradfahrten aus Aufgabe 1.

Länge der Fahrradfahrten einer Woche — alle Werte in Kilometern
Messreihe1.2.3.4.5.6.7.8.9.
Zeile 112715921718119
Zeile 21472591216720
Zeile 3101371922915

Berechnen Sie die Spannweite \(S_w\) dieser Messreihe.

Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet.
  1. Wie groß ist der größte Messwert \(x_{\text{max}}\)?km
  2. Wie groß ist der kleinste Messwert \(x_{\text{min}}\)?km
  3. Wie groß ist damit die Spannweite \(S_w\)?km
Der größte Wert 25 km steht in Zeile 2, der kleinste Wert 7 km kommt viermal vor. \(S_w = 25\,\text{km} - 7\,\text{km} = 18\,\text{km}\). Zur Spannweite tragen nur diese beiden Werte bei, die übrigen 22 nicht.
5Fünf Messreihen nach ihrer Spannweite ordnenAFB II

Ordnen Sie die fünf Messreihen nach ihrer Spannweite — von der kleinsten zur größten Spannweite. Achten Sie auf negative Zahlen und Dezimalzahlen.

Verschiebe die Zeilen mit der Maus oder mit den Pfeil-Buttons.
10,8; 1,5; 2,9; 3,2
23; 8; 5; 9; 4
320; 14; 26; 19
4−4; 2; −9; 0; 5
5101; 97; 110; 95; 108
Die Spannweiten lauten der Reihe nach 2,4 — 6 — 12 — 14 — 15. Bei der Reihe mit negativen Zahlen ist \(S_w = 5 - (-9) = 14\); wer die Minuszeichen übersieht, erhält fälschlich 5. Die großen Zahlen der letzten Reihe täuschen: ihre Spannweite ist nur 15.
6Rückwärts rechnenAFB II

Von einer Messreihe mit Gepäckgewichten ist bekannt: die Spannweite beträgt \(S_w = 23\,\text{kg}\), der größte gemessene Wert ist \(x_{\text{max}} = 70\,\text{kg}\). Nachträglich wird ein weiteres Gepäckstück mit \(41\,\text{kg}\) in die Messreihe aufgenommen.

Berechnen Sie die Spannweite der erweiterten Messreihe in kg.

Gib die neue Spannweite in Kilogramm ein (nur die Zahl).
Aus \(S_w = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}\) folgt \(x_{\text{min}} = 70\,\text{kg} - 23\,\text{kg} = 47\,\text{kg}\). Der neue Wert 41 kg ist kleiner als 47 kg und wird damit zum neuen kleinsten Wert: \(S_w^{\ast} = 70\,\text{kg} - 41\,\text{kg} = 29\,\text{kg}\). Wer 23 kg einfach beibehält oder \(70-41\) mit \(47-41\) verwechselt, landet daneben.
7Gleiche Spannweite, verschiedene ZahlenAFB II

Berechnen Sie die Spannweite jeder Karte und ordnen Sie die Karte dem passenden Korb zu. Erst eine Karte anklicken, dann den Korb.

Sechs Messreihen, drei Spannweiten — je zwei Karten gehören zusammen.
1\(S_w = 8\)
2\(S_w = 12\)
3\(S_w = 15\)
Die Spannweite hängt nicht von der Größe der Zahlen ab: 104 bis 113 und −7 bis 8 liegen beide 15 auseinander. Bei −2; 4; 6; 1 ist \(S_w = 6 - (-2) = 8\).
8Kennzahlen aus einer HäufigkeitstabelleAFB II

Eine Messreihe liegt bereits als Häufigkeitstabelle vor. In der zweiten Zeile steht, wie oft der jeweilige Wert vorkommt.

Häufigkeitstabelle einer Messreihe (Anzahl der Tore je Spiel)
Wert \(x\)456789
\(H(x)\)035042

Bestimmen Sie Stichprobenumfang, kleinsten und größten Messwert sowie die Spannweite.

Vier Felder ausfüllen, dann prüfen.
KennzahlWert
Stichprobenumfang \(n\)
kleinster Messwert \(x_{\text{min}}\)
größter Messwert \(x_{\text{max}}\)
Spannweite \(S_w\)
Der Stichprobenumfang ist die Summe aller absoluten Häufigkeiten: \(0+3+5+0+4+2 = 14\). Die Werte 4 und 7 stehen zwar in der Kopfzeile, wurden aber nie gemessen — \(H(4)=H(7)=0\). Also ist \(x_{\text{min}} = 5\), \(x_{\text{max}} = 9\) und \(S_w = 9 - 5 = 4\). Wer die 4 aus der Kopfzeile als kleinsten Wert nimmt, erhält fälschlich 5.
9Die Fachbegriffe an der richtigen StelleAFB I

Vervollständigen Sie die Beschreibung mit den Bausteinen.

Ziehe die Bausteine an die richtige Stelle.

Jeder einzelne erhobene Wert einer Messreihe heißt . Die gesamte Anzahl dieser Werte heißt und wird ; Wiederholungen zählen dabei mit. Die beschreibt dagegen nicht die Anzahl, sondern den Bereich der Werte: Sie ist die aus größtem und kleinstem Wert. In sie gehen deshalb nur der erhobenen Werte ein.

Gezählt wird für \(n\), gerechnet wird für \(S_w\). Und \(S_w\) benutzt genau zwei der Messwerte, \(n\) dagegen alle.
10Was ändert sich?AFB II

Gegeben ist die Messreihe \(6;\; 9;\; 11;\; 14;\; 20\) mit \(n = 5\) und \(S_w = 14\).

Kreuzen Sie für jede Veränderung an, welche der beiden Kennzahlen sich dadurch ändert.

In jeder Zeile genau ein Kreuz.
nur \(n\) ändert sichnur \(S_w\) ändert sichbeide ändern sichkeine ändert sich
Der Wert 11 wird durch 12 ersetzt.
Ein weiterer Wert 9 wird ergänzt.
Der Wert 20 wird durch 25 ersetzt.
Ein Wert 3 wird ergänzt.
Der Wert 6 wird gestrichen.
Alle fünf Werte werden um 4 vergrößert.
Innere Werte zu verändern lässt \(S_w\) unberührt; ein Wert weniger oder mehr verändert immer \(n\). Beim Streichen der 6 wird 9 zum neuen kleinsten Wert: \(n = 4\) und \(S_w = 20 - 9 = 11\), also ändern sich beide. Werden alle Werte um denselben Betrag verschoben, wächst auch der größte und der kleinste Wert um 4 — die Differenz bleibt 14.
11Eine Messreihe nach Vorgabe bauenAFB III

Auf dem Zahlenstrahl entsteht eine Messreihe: jeder Punkt ist ein Messwert.

Stellen Sie eine Messreihe zusammen, die gleichzeitig alle drei Bedingungen erfüllt: \(n = 7\), \(S_w = 9\) und \(x_{\text{min}} = 3\).

Alle drei Bedingungen müssen gleichzeitig gelten. Die Kennzahlen oben werden laufend neu berechnet.

Klick auf den Zahlenstrahl setzt einen Messwert, Klick auf einen Punkt wählt ihn aus. Mit der Tastatur: Tab auf einen Punkt, ←/→ verschiebt ihn, Entf löscht ihn.

Aus \(x_{\text{min}} = 3\) und \(S_w = 9\) folgt zwingend \(x_{\text{max}} = 12\). Zwei Punkte liegen damit fest; die übrigen fünf dürfen irgendwo zwischen 3 und 12 liegen — auch mehrfach auf demselben Wert. Es gibt also sehr viele richtige Lösungen.
12Zwei Messreihen im VergleichAFB II

Zwei Klassen notieren ihre Ergebnisse eines Weitsprungwettbewerbs in Zentimetern.

Sprungweiten in cm
Klasse1.2.3.4.5.6.7.8.
11a318402355371289402340366
11b352361347358350369344

Wählen Sie alle zutreffenden Aussagen aus. Es sind mehrere richtig.

Mehrere Antworten sind richtig.
11a: \(n = 8\), \(S_w = 402 - 289 = 113\,\text{cm}\). 11b: \(n = 7\), \(S_w = 369 - 344 = 25\,\text{cm}\), und \(25 < 113 : 4 = 28{,}25\). Die letzte Aussage ist falsch: 402 cm kommt zweimal vor, nach dem Streichen eines der beiden Werte bleibt der größte Wert 402 cm — die Spannweite ändert sich nicht.
13Fehlersuche in einer MusterlösungAFB II

Eine Schülerin bestimmt \(n\) und \(S_w\) für die Messreihe \(2{,}4\,\text{m};\; 185\,\text{cm};\; 3{,}1\,\text{m};\; 96\,\text{cm};\; 2{,}4\,\text{m}\).

Klicken Sie alle Zeilen an, die einen Fehler enthalten.

Klicke die fehlerhaften Zeilen an.
Alle vier Fehler haben nur zwei Ursachen: verschiedene Werte mit Messwerten verwechselt und die Einheiten nicht angeglichen. Vor jedem Vergleich gilt: erst umrechnen, dann suchen.
14Zwei Messreihen werden zusammengelegtAFB III

Zwei Gruppen messen dieselbe Größe und legen ihre Ergebnisse anschließend zu einer gemeinsamen Messreihe zusammen.

Reihe P: \(12;\;19;\;15;\;22;\;17\)    Reihe Q: \(25;\;14;\;9;\;18\)

Bestimmen Sie die vier Kennzahlen der zusammengelegten Messreihe.

Vier Felder, ein Prüfen-Klick.
Kennzahl der zusammengelegten ReiheWert
Stichprobenumfang \(n\)
kleinster Wert \(x_{\text{min}}\)
größter Wert \(x_{\text{max}}\)
Spannweite \(S_w\)
Die Stichprobenumfänge addieren sich: \(5 + 4 = 9\). Die Spannweiten dagegen nicht: \(S_w(P) = 10\) und \(S_w(Q) = 16\), zusammen wäre das 26 — falsch. Richtig wird über die gemeinsame Reihe gerechnet: \(x_{\text{min}} = 9\), \(x_{\text{max}} = 25\), also \(S_w = 25 - 9 = 16\). Hier ist die gemeinsame Spannweite zufällig gleich der größeren Einzelspannweite, weil Reihe P vollständig innerhalb von Reihe Q liegt.
15Spannweite aus dem PunktdiagrammAFB II

An einer Bushaltestelle wurde zwölfmal die Wartezeit gemessen. Jeder Punkt steht für einen Messwert; gleiche Werte stehen übereinander.

101214161820222426283032Wartezeit in Minuten

Stellen Sie den Regler auf die Spannweite dieser Messreihe in Minuten.

Pfeiltasten bewegen den Regler in Einerschritten. Der Wert muss exakt stimmen.
032
Der kleinste Wert ist 13 min, der größte 29 min, also \(S_w = 29\,\text{min} - 13\,\text{min} = 16\,\text{min}\). Die Höhe der Punktstapel spielt dafür keine Rolle — sie zeigt nur, wie oft ein Wert gemessen wurde. Der Stichprobenumfang \(n = 12\) ist die Anzahl aller Punkte.
16Spannweite bei gemischten EinheitenAFB III

Fünf Bretter werden vermessen: \(1{,}25\,\text{m};\; 96\,\text{cm};\; 1{,}4\,\text{m};\; 88\,\text{cm};\; 1{,}05\,\text{m}\).

Berechnen Sie die Spannweite dieser Messreihe.

Rechne zuerst um, dann vergleiche. Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.
  1. Wie groß ist der größte Messwert in Zentimetern?cm
  2. Wie groß ist der kleinste Messwert in Zentimetern?cm
  3. Wie groß ist die Spannweite in Zentimetern?cm
  4. Wie groß ist dieselbe Spannweite in Metern?m
In Zentimetern lautet die Reihe 125; 96; 140; 88; 105. Also \(S_w = 140\,\text{cm} - 88\,\text{cm} = 52\,\text{cm} = 0{,}52\,\text{m}\). Wer 1,4 und 96 unbesehen voneinander abzieht, erhält Unsinn: Die Zahlen sind nur vergleichbar, wenn dieselbe Einheit dahintersteht.
17Wann verdoppelt sich die Spannweite?AFB III

Gegeben ist die Messreihe \(8;\; 14;\; 11;\; 9;\; 17\). Ihr wird ein einziger weiterer ganzzahliger Messwert \(x\) hinzugefügt, und dadurch soll sich die Spannweite genau verdoppeln.

Geben Sie den kleinsten ganzzahligen Wert \(x\) an, für den das gilt.

Trage den kleinstmöglichen Wert von \(x\) ein. Ein Minuszeichen ist erlaubt.
Bisher ist \(S_w = 17 - 8 = 9\), gefordert ist also \(S_w^{\ast} = 18\). Es gibt zwei Möglichkeiten: \(x\) wird neuer größter Wert, dann \(x - 8 = 18\), also \(x = 26\); oder \(x\) wird neuer kleinster Wert, dann \(17 - x = 18\), also \(x = -1\). Der kleinere der beiden Werte ist \(x = -1\). Ein Wert dazwischen ändert die Spannweite gar nicht.
18Messreihe und Kennzahlenpaar verbindenAFB II

Verbinden Sie jede Messreihe mit dem Paar aus Stichprobenumfang und Spannweite, das zu ihr gehört. Die Paare sehen sich absichtlich ähnlich.

Links eine Messreihe anklicken, dann rechts das passende Kennzahlenpaar.
Alle fünf Reihen bis auf die letzte haben dieselbe Spannweite 8 — unterschieden werden sie nur durch \(n\). Mehrfach vorkommende Werte zählen bei \(n\) jedes Mal mit, bei \(S_w\) aber nur einmal.
19Der Weg zur SpannweiteAFB II

Eine Messreihe von Gewichten liegt teils in Gramm, teils in Kilogramm vor: \(0{,}8\,\text{kg};\; 450\,\text{g};\; 1{,}2\,\text{kg};\; 950\,\text{g};\; 0{,}45\,\text{kg}\).

Wählen Sie in jedem Schritt die richtige Fortsetzung.

Eine falsche Wahl wird rot markiert; dann probierst du es erneut.

    Die Reihenfolge ist immer dieselbe: umrechnen, größten und kleinsten Wert suchen, subtrahieren, Einheit dazuschreiben. Der Stichprobenumfang ändert sich durch das Umrechnen nicht.
    20Vier Bedingungen gleichzeitig erfüllenAFB III

    Stellen Sie auf dem Zahlenstrahl eine Messreihe zusammen, für die gleichzeitig gilt: \(n = 8\), \(x_{\text{min}} = 5\), \(S_w = 12\) und Median \(= 11\).

    Der Median ist bei gerader Anzahl das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte der geordneten Reihe — er wird hier zum ersten Mal gebraucht und im nächsten Unterkapitel ausführlich behandelt.

    Die Kennzahlen über dem Zahlenstrahl werden nach jeder Änderung neu berechnet.

    Klick auf den Zahlenstrahl setzt einen Messwert, Klick auf einen Punkt wählt ihn aus. Mit der Tastatur: Tab auf einen Punkt, ←/→ verschiebt ihn, Entf löscht ihn.

    Aus \(x_{\text{min}} = 5\) und \(S_w = 12\) folgt \(x_{\text{max}} = 17\). Damit stehen zwei Werte fest, sechs sind frei wählbar. Für den Median 11 müssen der 4. und der 5. Wert der geordneten Reihe zusammen 22 ergeben, zum Beispiel 10 und 12 oder zweimal 11. Eine mögliche Lösung: 5; 8; 9; 10; 12; 13; 16; 17.