Textaufgaben: Stichprobenumfang und Spannweite

Jede der drei Wochen liefert sieben Tagesmittelwerte, also \(7+7+7 = 21\) Messwerte. Der Stichprobenumfang beträgt \(n = 21\).

Der größte Messwert steht in Woche 3 am Samstag: \(x_{\text{max}} = 44\,\mu\mathrm{g/m^3}\). Der kleinste Messwert steht in Woche 3 am Dienstag: \(x_{\text{min}} = 17\,\mu\mathrm{g/m^3}\).

\(S_w = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} = 44\,\mu\mathrm{g/m^3} - 17\,\mu\mathrm{g/m^3} = 27\,\mu\mathrm{g/m^3}\).

Die Spannweite der Messreihe beträgt \(S_w = 27\,\mu\mathrm{g/m^3}\).

Zwischen dem am wenigsten und dem am stärksten belasteten Tag der drei Wochen liegen 27 µg/m³. Die Feinstaubbelastung schwankt also von Tag zu Tag erheblich; an dem am stärksten belasteten Tag war sie mehr als zweieinhalbmal so hoch wie am saubersten. Der Grenzwert von 50 µg/m³ wurde an keinem der 21 Tage erreicht, denn schon der größte Messwert liegt mit 44 µg/m³ darunter.

Der Stichprobenumfang ist eine reine Anzahl: Er entsteht durch Abzählen der Messwerte, und eine Anzahl trägt keine Einheit, es gilt \([n] = 1\). Die Spannweite entsteht dagegen durch Subtraktion zweier Messwerte. Eine Differenz zweier Konzentrationen ist wieder eine Konzentration, also gilt \([S_w] = \mu\mathrm{g/m^3}\).

Die Tabelle enthält zwölf Spalten mit je einem Messwert, also \(n = 12\).

Größter Wert: \(x_{\text{max}} = 504\,\mathrm{ml}\) (Flasche 12); kleinster Wert: \(x_{\text{min}} = 496\,\mathrm{ml}\) (Flasche 9).

\(S_w = 504\,\mathrm{ml} - 496\,\mathrm{ml} = 8\,\mathrm{ml}\).

Mit der 13. Flasche gilt \(n^{\ast} = 13\).

Der neue Wert 462 ml ist kleiner als der bisherige kleinste Wert 496 ml und wird damit zum neuen \(x_{\text{min}}\); der größte Wert bleibt bei 504 ml. Also \(S_w^{\ast} = 504\,\mathrm{ml} - 462\,\mathrm{ml} = 42\,\mathrm{ml}\).

Faktor: \(\dfrac{S_w^{\ast}}{S_w} = \dfrac{42\,\mathrm{ml}}{8\,\mathrm{ml}} = 5{,}25\). Die Spannweite wächst also auf mehr als das Fünffache.

In die Spannweite gehen nur zwei Messwerte ein: der größte und der kleinste. Alle übrigen elf Werte kommen in \(S_w = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}\) überhaupt nicht vor. Ein neuer Wert, der weder größer als 504 ml noch kleiner als 496 ml ist, würde die Spannweite deshalb gar nicht verändern. Genau weil 462 ml weit unterhalb aller bisherigen Werte liegt, wird dieser eine Wert zu einem der beiden Werte, die \(S_w\) allein bestimmen — ein solcher Ausreißer schlägt deshalb voll durch.

Beim Stichprobenumfang ist es umgekehrt: Zu \(n\) trägt jeder einzelne Messwert genau eins bei, gleichgültig wie groß oder klein er ist. Der neue Wert erhöht \(n\) deshalb nur von 12 auf 13, also um rund 8 %, während \(S_w\) um 425 % zunimmt. Die Spannweite reagiert extrem empfindlich auf einzelne Ausreißer, der Stichprobenumfang nicht.

Beide Zeilen enthalten zehn Einträge, also \(n_A = n_B = 10\).

Linie A: \(x_{\text{max}} = 12\,\mathrm{min}\), \(x_{\text{min}} = 0\,\mathrm{min}\), also \(S_{w,A} = 12\,\mathrm{min} - 0\,\mathrm{min} = 12\,\mathrm{min}\).

Linie B: \(x_{\text{max}} = 12\,\mathrm{min}\), \(x_{\text{min}} = 0\,\mathrm{min}\), also \(S_{w,B} = 12\,\mathrm{min}\).

Beide Linien haben denselben Stichprobenumfang und dieselbe Spannweite.

Linie A: die Werte 0, 1, 2, 1, 0, 2, 1, 1 und 0 sind höchstens 2 Minuten — das sind 9 der 10 Fahrten, also ein Anteil von \(\dfrac{9}{10} = 90\,\%\).

Linie B: nur die erste Fahrt mit 0 Minuten erfüllt die Bedingung — das ist 1 der 10 Fahrten, also \(\dfrac{1}{10} = 10\,\%\). Umgekehrt hatten bei Linie B 7 der 10 Fahrten mindestens 5 Minuten Verspätung (5, 8, 6, 12, 9, 7 und 10), bei Linie A nur eine einzige.

Vergleich: Gemeinsam sind beiden Linien der Stichprobenumfang \(n = 10\), der kleinste Wert 0 min, der größte Wert 12 min und damit die Spannweite 12 min. Verschieden ist die Verteilung dazwischen. Bei Linie A drängen sich neun Werte am unteren Rand, und die 12 ist ein einzelner Ausreißer; lässt man ihn weg, beträgt die Spannweite der übrigen neun Fahrten nur \(2\,\mathrm{min} - 0\,\mathrm{min} = 2\,\mathrm{min}\). Bei Linie B verteilen sich die Werte dagegen gleichmäßig über den ganzen Bereich von 0 bis 12 Minuten. Linie A ist also im Alltag deutlich pünktlicher als Linie B.

In die Spannweite gehen von den zehn Werten jeder Linie nur zwei ein: der größte und der kleinste. Die acht Werte dazwischen kommen in \(S_w = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}\) nicht vor. Genau diese acht Werte machen aber den Unterschied zwischen den beiden Linien aus.

Weil zufällig beide Randwerte übereinstimmen — beide Linien hatten mindestens eine pünktliche Fahrt und beide höchstens 12 Minuten Verspätung —, liefert die Spannweite hier zweimal denselben Wert und legt damit die falsche Vermutung nahe, die Linien seien gleichwertig. Die Spannweite misst nur, wie breit der Bereich ist, in dem die Werte liegen, nicht, wie sich die Werte innerhalb dieses Bereichs verteilen. Um den Unterschied zu erfassen, braucht man weitere Angaben — hier genügte bereits das Auszählen der Fahrten mit höchstens 2 Minuten Verspätung.

Lieferant A: \(x_{\text{max}} = 60{,}3\,\mathrm{mm}\), \(x_{\text{min}} = 59{,}7\,\mathrm{mm}\), also \(S_{w,A} = 60{,}3\,\mathrm{mm} - 59{,}7\,\mathrm{mm} = 0{,}6\,\mathrm{mm}\).

Lieferant B: \(x_{\text{max}} = 60{,}1\,\mathrm{mm}\), \(x_{\text{min}} = 59{,}5\,\mathrm{mm}\), also \(S_{w,B} = 60{,}1\,\mathrm{mm} - 59{,}5\,\mathrm{mm} = 0{,}6\,\mathrm{mm}\).

Beide Lieferungen haben denselben Stichprobenumfang \(n = 10\) und dieselbe Spannweite \(S_w = 0{,}6\,\mathrm{mm}\).

Lieferant A: Alle zehn Messwerte liegen zwischen 59,7 mm und 60,3 mm und damit vollständig im Toleranzbereich von 59,6 mm bis 60,4 mm. Kein Stift ist Ausschuss.

Lieferant B: Der neunte Stift misst 59,5 mm und liegt damit um 0,1 mm unterhalb der unteren Toleranzgrenze. Genau ein Stift von zehn ist Ausschuss, das entspricht einem Anteil von \(\dfrac{1}{10} = 10\,\%\).

Ohne diesen Wert bleiben für Lieferant B die neun Werte zwischen 59,9 mm und 60,1 mm: \(S_w = 60{,}1\,\mathrm{mm} - 59{,}9\,\mathrm{mm} = 0{,}2\,\mathrm{mm}\) — nur ein Drittel der Spannweite von Lieferant A.

Die Spannweite allein trennt die beiden Lieferungen nicht: Sie beträgt in beiden Fällen 0,6 mm. Die Entscheidung muss deshalb auf weitere Beobachtungen gestützt werden.

Für Lieferant B spricht die Fertigungsgenauigkeit: Neun der zehn Stifte weichen höchstens 0,1 mm von der Solllänge ab, die Spannweite dieser neun Werte beträgt nur 0,2 mm. Gegen ihn spricht der Ausschussstift mit 59,5 mm — hochgerechnet auf eine große Bestellung wäre rund jeder zehnte Stift unbrauchbar, mit Kosten für Prüfung, Aussortieren und Nachlieferung.

Für Lieferant A spricht, dass alle zehn Stifte verbaubar sind, obwohl seine Werte breiter streuen; er nutzt den Toleranzbereich aus, verlässt ihn aber nicht.

Entscheidung: Der Auftrag sollte an Lieferant A gehen. Maßgeblich ist nicht die Genauigkeit im Normalfall, sondern ob die vereinbarte Toleranz eingehalten wird — und das leistet nur A. Diese Entscheidung ist allerdings vorläufig, denn jede Lieferung wurde nur mit \(n = 10\) Stiften geprüft: Ein einziger Ausreißer in zehn Messwerten kann auch eine einmalige Störung sein. Vertretbar wäre deshalb auch die Entscheidung für B, sofern B den Ausreißer erklären kann und eine größere zweite Stichprobe ohne Ausschuss bleibt. Ohne diesen Nachweis bleibt A die sichere Wahl.

Beide Zeilen enthalten zwölf Messwerte, also \(n_{\text{Nord}} = n_{\text{Süd}} = 12\).

Praxis Nord: \(S_w = 27\,\mathrm{min} - 20\,\mathrm{min} = 7\,\mathrm{min}\).

Praxis Süd: \(S_w = 19\,\mathrm{min} - 5\,\mathrm{min} = 14\,\mathrm{min}\).

Wegen \(\dfrac{7\,\mathrm{min}}{14\,\mathrm{min}} = 0{,}5\) ist die Spannweite der Praxis Nord tatsächlich genau halb so groß wie die der Praxis Süd. Die Behauptung „nur halb so stark“ ist als Aussage über die Spannweite rechnerisch richtig.

Praxis Nord: Der kleinste gemessene Wert beträgt 20 Minuten. Keine einzige der zwölf Wartezeiten liegt bei höchstens 10 Minuten, also 0 von 12.

Praxis Süd: Bis auf die 19 sind alle Werte (5, 8, 6, 9, 7, 6, 10, 8, 7, 6 und 9) höchstens 10 Minuten lang, also 11 von 12 und damit ein Anteil von \(\dfrac{11}{12} \approx 0{,}917 = 91{,}7\,\%\).

Ohne den Wert 19 gilt für Praxis Süd \(x_{\text{max}} = 10\,\mathrm{min}\) und \(x_{\text{min}} = 5\,\mathrm{min}\), also \(S_w = 10\,\mathrm{min} - 5\,\mathrm{min} = 5\,\mathrm{min}\) — weniger als die 7 Minuten der Praxis Nord.

Die Rechnung der Zeitung stimmt, die Schlussfolgerung nicht. Richtig ist nur der Satz „die Spannweite der Praxis Nord ist halb so groß“. Daraus folgt aber weder, dass man dort weniger wartet, noch dass die Praxis „verlässlicher“ ist.

Erstens verwechselt die Schlagzeile Streuung und Höhe: In Praxis Nord wartete jede der zwölf Personen mindestens 20 Minuten, in Praxis Süd elf von zwölf höchstens 10 Minuten. Wer eine kurze Wartezeit will, ist in Süd klar besser aufgehoben — die Spannweite sagt dazu nichts, weil in \(S_w = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}\) nur die Differenz steht, nicht die Lage der Werte. Verschiebt man alle Wartezeiten der Praxis Süd um 15 Minuten nach oben, bleibt ihre Spannweite unverändert 14 Minuten, obwohl niemand mehr kurz wartet.

Zweitens beruht der Faktor 2 auf einem einzigen Wert. Der Ausreißer von 19 Minuten in Praxis Süd bestimmt deren \(x_{\text{max}}\) allein; ohne ihn beträgt die Spannweite dort nur noch 5 Minuten und ist damit kleiner als die 7 Minuten der Praxis Nord. Die Aussage kehrt sich also um, wenn ein einziger von 24 Messwerten wegfällt.

Urteil: Die Spannweite ist als alleiniger Kennwert für einen solchen Vergleich ungeeignet. Sie benutzt nur zwei der zwölf Werte je Praxis, ignoriert alle Werte dazwischen, reagiert extrem empfindlich auf Ausreißer und beschreibt ausschließlich die Breite des Wertebereichs, nicht dessen Lage. Sie ist ein nützlicher erster Überblick über die Streuung, muss aber immer zusammen mit dem Stichprobenumfang, den Einzelwerten oder weiteren Kennzahlen berichtet werden. Die Zeitung hätte beide Urlisten und beide Stichprobenumfänge abdrucken müssen; außerdem sind zwölf Messungen an einem einzigen Vormittag eine sehr schmale Grundlage für ein Urteil über eine Praxis.