Übungsaufgaben — AFB II
Zehn gemischte Aufgaben auf dem Anforderungsbereich II: Bekanntes wird verknüpft — zwei Kennzahlen, zwei Darstellungen oder Hin- und Rückrichtung einer Formel. Fünf interaktive Applets wechseln sich mit fünf Textaufgaben ab, die alle gestufte Hilfen und eine ausführliche Lösung anbieten.
In einer Umfrage unter \(n = 25\) Personen wurde die Anzahl der Geschwister erfasst. Die absoluten Häufigkeiten lauten \(H(0)=5\), \(H(1)=9\), \(H(2)=6\), \(H(3)=3\), \(H(4)=2\).
Berechnen Sie für jede Zeile die relative Häufigkeit in Prozent und das Produkt \(x \cdot H(x)\). Die Produktspalte brauchen Sie anschließend für das arithmetische Mittel.
| Geschwisterzahl x | h(x) in % | x · H(x) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 |
Bei 30 Fahrten wurde die Fahrzeit zur Schule erfasst und klassiert, \([t] = \mathrm{min}\):
[0; 10): 4 Fahrten · [10; 20): 9 Fahrten · [20; 30): 12 Fahrten · [30; 40): 5 Fahrten
Bestimmen Sie die Klassenmitte der dritten Klasse und daraus den Näherungswert für das arithmetische Mittel.
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Klassenmitten: 5; 15; 25; 35 min.
\(4\cdot 5 + 9\cdot 15 + 12\cdot 25 + 5\cdot 35 = 20 + 135 + 300 + 175 = 630\).
\(\bar x \approx \dfrac{630}{30} = 21\,\mathrm{min}\).
Das Ergebnis ist ein Näherungswert. Der wahre Mittelwert der 30 Einzelwerte kann davon abweichen — er lässt sich aus der klassierten Tabelle grundsätzlich nicht mehr exakt zurückgewinnen.
Fünf Messungen der Zimmertemperatur ergaben \([\vartheta] = {}^{\circ}\mathrm{C}\): 3; 8; 5; 10; 4 (Abweichungen vom Sollwert, deshalb kleine Zahlen).
Berechnen Sie Schritt für Schritt Mittelwert, Varianz und Standardabweichung.
- Summe aller Messwerte
- Arithmetisches Mittel \(\bar x\)
- Summe der quadrierten Abweichungen \(\sum (x_i-\bar x)^2\)
- Empirische Varianz \(s^2\)
- Empirische Standardabweichung \(s\), auf zwei Nachkommastellen
In einer Klausur schrieben sechs Personen. Der Punktedurchschnitt beträgt \(\bar x = 11\) Punkte. Fünf Ergebnisse sind bekannt: 8; 14; 9; 13; 10.
Berechnen Sie das fehlende sechste Ergebnis. Berechnen Sie anschließend den neuen Durchschnitt, wenn eine siebte Person mit 18 Punkten dazukommt.
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Gesamtsumme: \(11 \cdot 6 = 66\). Bekannt: \(8+14+9+13+10 = 54\). Fehlend: \(66 - 54 = 12\) Punkte.
Mit der siebten Person: \(\bar x_{\text{neu}} = \dfrac{66 + 18}{7} = \dfrac{84}{7} = 12\) Punkte.
Der Durchschnitt steigt, weil der neue Wert über dem bisherigen Mittel liegt. Ein einzelner Wert kann den Mittelwert spürbar verschieben — der Median hätte sich hier nur von 11 auf 11,5 bewegt.
Ordnen Sie jede Eigenschaft genau einer Kennzahl zu. In jeder Zeile steht genau ein Kreuz.
| Median | arithmetisches Mittel | Standardabweichung | |
|---|---|---|---|
| reagiert stark auf einen einzelnen Ausreißer | |||
| teilt die Rangliste in zwei gleich große Hälften | |||
| wird 0, wenn alle Messwerte gleich sind | |||
| ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl | |||
| bleibt unverändert, wenn der größte Wert noch größer wird | |||
| misst, wie weit die Werte typischerweise vom Mittelwert entfernt liegen |
Zwei Gruppen lösten dieselbe Aufgabe. Erreichte Punkte:
Gruppe A: 18; 20; 20; 22 · Gruppe B: 14; 18; 22; 26
Berechnen Sie für beide Gruppen die Standardabweichung und erklären Sie, warum der Mittelwert allein die beiden Gruppen nicht unterscheidet.
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\(\bar x_A = \bar x_B = 20\) Punkte. \(s_A = \sqrt{2} \approx 1{,}41\), \(s_B = \sqrt{20} \approx 4{,}47\) Punkte.
Der Mittelwert beschreibt nur die Lage der Daten. Wie weit die Werte um diese Lage herum verteilt sind, sagt er nicht. Erst die Standardabweichung macht sichtbar, dass Gruppe B rund dreimal so stark streut wie Gruppe A. In einer Auswertung gehören Lagemaß und Streumaß deshalb immer zusammen.
20 Messwerte wurden in fünf gleich breite Klassen eingeteilt. Die absoluten Häufigkeiten lauten 2; 4; 6; 5; 3 (von der ersten bis zur fünften Klasse).
Stellen Sie die relativen Häufigkeiten in Prozent als Histogramm dar.
Von 400 befragten Personen gaben 140 an, überwiegend mit dem Rad zur Arbeit zu fahren. Das Ergebnis soll in einem Kreisdiagramm dargestellt werden.
Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel des Sektors „Rad“. Beurteilen Sie anschließend, ob eine Befragung, die ausschließlich vor einem Fahrradgeschäft durchgeführt wurde, repräsentativ für alle Berufstätigen der Stadt wäre.
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\(h(\text{Rad}) = \dfrac{140}{400} = 0{,}35\), also \(\alpha = 0{,}35 \cdot 360^{\circ} = 126^{\circ}\).
Zur Repräsentativität: Eine Befragung vor einem Fahrradgeschäft wäre nicht repräsentativ. Menschen, die dort einkaufen, fahren überdurchschnittlich häufig Rad — die Stichprobe wäre systematisch verzerrt (Auswahlverzerrung). Repräsentativ ist eine Stichprobe, wenn jedes Element der Grundgesamtheit dieselbe Chance hat, ausgewählt zu werden, und wenn die Stichprobe die Grundgesamtheit in den wesentlichen Merkmalen abbildet. Ein größerer Stichprobenumfang hilft dagegen nicht: Eine verzerrte Auswahl bleibt verzerrt, auch wenn man 4000 statt 400 Personen befragt.
Vervollständigen Sie den Text. Prüfen Sie erst am Ende alles auf einmal.
Bei 200 Messwerten zwischen 0 und 100 ist eine Tabelle mit allen Einzelwerten unübersichtlich. Man bildet deshalb . Werden sechs gleich breite Klassen gewünscht, beträgt die Klassenbreite . Die passende Darstellung heißt ; ihre Balken grenzen aneinander.
In einer zweiten Erhebung liegen fast alle Einkommen zwischen 2000 € und 4000 €, ein einziges bei 90 000 €. Als Lagemaß ist hier geeigneter, weil dieser Wert . Der Modalwert wäre nur dann sinnvoll, wenn .
Zwei Klassen schrieben dieselbe Klausur (je 28 Arbeiten). Die Boxplots zeigen die erreichten Punkte.
Berechnen Sie die Boxbreiten beider Klassen und vergleichen Sie die beiden Verteilungen nach Lage und Streuung.
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Boxbreite A: \(20-12 = 8\) Punkte. Boxbreite B: \(21-16 = 5\) Punkte.
Lage: Klasse B liegt höher — ihr Median beträgt 18 Punkte gegenüber 15 Punkten in Klasse A. Auch beide Boxkanten von B liegen über denen von A.
Streuung: Klasse A streut stärker, und zwar auf beiden Ebenen: Die Boxbreite ist mit 8 Punkten größer als die 5 Punkte von B, und die Spannweite beträgt 20 gegenüber 14 Punkten.
Vorsicht bei der Deutung: Die breitere Box von A bedeutet nicht, dass dort mehr Arbeiten liegen. In beiden Boxen stecken jeweils rund 50 % der 28 Arbeiten — in A verteilen sie sich nur über einen größeren Punktebereich. Einzelne Werte und die genaue Anzahl sind aus einem Boxplot grundsätzlich nicht ablesbar.