Zehn Stolperstellen
Diese zehn Fehler tauchen in Klassenarbeiten zu Kapitel 6 immer wieder auf. Jeder ist hier einmal falsch und einmal richtig aufgeschrieben, dazu jeweils ein Merksatz, mit dem sich der Fehler künftig vermeiden lässt. Lesen Sie die Liste vor der Klausur einmal ganz durch — die meisten dieser Fehler kosten keine Rechenzeit, sondern nur Aufmerksamkeit.
1Den Median ohne Sortieren bestimmt
Falsch: „Die Werte sind 12; 5; 9; 21; 3; 16; 7. Der mittlere ist der vierte, also 21.“
Richtig: Der Median ist der mittlere Wert der Rangliste, nicht der Urliste. Sortiert lauten die Werte 3; 5; 7; 9; 12; 16; 21 — der vierte davon ist 9.
Erst sortieren, dann zählen. Ein Median, der ohne vorheriges Ordnen bestimmt wurde, ist reiner Zufall. Dasselbe gilt für Quartile und für das Ablesen von Minimum und Maximum.2Teil und Ganzes vertauscht
Falsch: „36 von 150 Befragten haben ein Haustier, also \(h = \tfrac{150}{36} \approx 4{,}17\), das sind rund 417 %.“
Richtig: \(h(x) = \dfrac{H(x)}{n} = \dfrac{36}{150} = 0{,}24\), also 24 %.
Der Grundwert — das Ganze — steht im Nenner. Zwei Kontrollen fangen diesen Fehler sofort ab: Eine relative Häufigkeit liegt immer zwischen 0 und 1, ein Prozentsatz einer Teilgruppe immer zwischen 0 % und 100 %.3Die Abweichungen nicht quadriert
Falsch: \(s^2 = \dfrac{(x_1-\bar x) + (x_2-\bar x) + \dots}{n}\) — und heraus kommt 0.
Richtig: \(s^2 = \dfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar x)^2\). Für 2; 6; 7; 9 mit \(\bar x = 6\) sind die Quadrate 16; 0; 1; 9, also \(s^2 = \tfrac{26}{4} = 6{,}5\) und \(s \approx 2{,}55\).
Die Summe der unquadrierten Abweichungen vom Mittelwert ist immer null — das ist eine Eigenschaft des arithmetischen Mittels und genau der Grund, warum quadriert wird. Wer bei einer Varianz 0 herausbekommt, obwohl die Werte verschieden sind, hat das Quadrat vergessen.4Die Wurzel vergessen — oder zweimal gezogen
Falsch: „\(s^2 = 6{,}5\), also beträgt die Standardabweichung 6,5.“ — oder umgekehrt: „\(s = 2{,}55\), also ist die Varianz \(\sqrt{2{,}55}\).“
Richtig: \(s = \sqrt{s^2}\), hier \(s = \sqrt{6{,}5} \approx 2{,}55\). Und umgekehrt \(s^2 = s \cdot s\).
Die Einheit verrät, welche Größe gemeint ist: Die Varianz trägt die quadrierte Einheit (z. B. cm²), die Standardabweichung dieselbe Einheit wie die Messwerte (cm). Deshalb wird zum Interpretieren fast immer \(s\) angegeben.5Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle falsch gebildet
Falsch: „Die Noten 1 bis 5 kommen vor, also ist \(\bar x = \tfrac{1+2+3+4+5}{5} = 3\).“
Richtig: Jeder Merkmalswert zählt so oft, wie er vorkommt. Bei \(H(1)=3,\;H(2)=7,\;H(3)=8,\;H(4)=5,\;H(5)=2\) ist \(\bar x = \dfrac{1\cdot 3 + 2\cdot 7 + 3\cdot 8 + 4\cdot 5 + 5\cdot 2}{25} = \dfrac{71}{25} = 2{,}84\).
Gemittelt werden die Messwerte, nicht die Liste der möglichen Merkmalswerte. Im Nenner steht der Stichprobenumfang \(n\), nicht die Anzahl der Tabellenzeilen.6Den Näherungswert aus Klassenmitten für exakt gehalten
Falsch: „Aus den Klassenmitten ergibt sich \(\bar x = 21\) min — das ist der Mittelwert der Fahrzeiten.“
Richtig: Es ist ein Näherungswert: \(\bar x \approx 21\) min. Nach dem Klassieren sind die Einzelwerte verloren; man rechnet mit der Annahme, jeder Wert liege genau in der Mitte seiner Klasse.
Klassieren ist immer ein Tauschgeschäft: mehr Übersicht gegen weniger Genauigkeit. Je breiter die Klassen, desto gröber die Näherung — schreiben Sie deshalb konsequent \(\approx\) und nicht \(=\).7Histogramm mit Lücken gezeichnet
Falsch: Die Balken eines Histogramms werden wie Säulen mit Abstand nebeneinandergestellt.
Richtig: Im Histogramm grenzen die Balken lückenlos aneinander, weil auch die Klassen lückenlos aneinandergrenzen. Die Balkenkanten sitzen genau auf den Klassengrenzen.
Die Lücke ist kein Schönheitsfehler, sondern eine Aussage: Sie bedeutet „zwischen diesen Werten gibt es nichts“. Beim Säulendiagramm (Note 1, Note 2, …) stimmt das, bei klassierten Messwerten wie Fahrzeiten nicht.8Boxbreite als Anzahl gedeutet
Falsch: „Die Box von Klasse A ist breiter, dort liegen also mehr Ergebnisse.“
Richtig: In jeder Box liegen rund 50 % der Werte — unabhängig davon, wie breit sie ist. Eine breitere Box heißt: Diese 50 % verteilen sich über einen größeren Wertebereich, streuen also stärker.
Breite heißt Streuung, nicht Anzahl. Ein Boxplot zeigt Positionen auf der Merkmalsachse — Anzahlen und einzelne Messwerte sind aus ihm grundsätzlich nicht ablesbar.9Angenommen, der Median liege in der Mitte der Box
Falsch: „Der Medianstrich sitzt ungefähr mittig, also kann man ihn aus \(Q_1\) und \(Q_3\) als \(\tfrac{Q_1+Q_3}{2}\) ausrechnen.“
Richtig: Der Median ist der Wert an der mittleren Position der Rangliste und muss dazu eigens bestimmt werden. Dass er nicht mittig in der Box liegt, ist der Normalfall und ein Hinweis auf eine schiefe Verteilung.
Liegt der Medianstrich links in der Box und ist die rechte Antenne länger, ist die Verteilung rechtsschief: unten drängen sich viele ähnliche Werte, oben ziehen einzelne große Werte den Rand weit hinaus.10Von einer verzerrten Stichprobe auf alle geschlossen
Falsch: „Wir haben 400 Personen vor dem Fahrradgeschäft befragt — 35 % fahren mit dem Rad zur Arbeit. Das gilt für die ganze Stadt. Bei 4000 Befragten wäre es noch sicherer.“
Richtig: Die Auswahl ist systematisch verzerrt: Wer dort einkauft, fährt überdurchschnittlich oft Rad. Repräsentativ wird eine Stichprobe durch zufällige Auswahl aus der ganzen Grundgesamtheit.
Ein größerer Stichprobenumfang behebt eine Verzerrung nicht — er macht das falsche Ergebnis nur präziser falsch. Prüfen Sie deshalb bei jeder Statistik zuerst: Wer wurde gefragt, und wer hatte überhaupt eine Chance, gefragt zu werden?